Kelengkungan Kurva
1. Kelengkungan
Ilustrasi untuk kelengkungan:
A. Kelengkungan dari garis adalah nol
Kelengkungannya adalah:
sehingga jari-jari kelengkungannya adalah:
Kita mendapati bahwa kelengkungan (𝜅) adalah laju perubahan sudut (φ) terhadap panjang kurva (s).
Turunkan kedua ruas terhadap t, menjadi:
Kita dapat menentukan turunan φ terhadap t sebagai:
Ingat kembali 𝜅 = |dφ/ds|, masukkan dφ/dt kedalamnya menjadi:
Misal diberikan ellips dalam bentuk parameter:
Misal r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k dan v(t) = r'(t). Misalkan r'(t) kontinu dan tidak nol, vektor kecepatan satuannya adalah:
Kelengkungan berkaitan dengan laju perubahan vektor kecepatan satuan
Perhatikan kelengkungan ketika objek bergerak dari A ke B dan ketika objek bergerak dari C ke D. Bandingkan besar T(t + ∆t) − T(t) dalam waktu ∆t.
Kelengkungan didefinisikan sebagai besarnya laju perubahan vektor satuan terhadap panjang busur kurva:
𝜅 = ‖𝑑𝑇/𝑑𝑠‖
Ingat kembali bahwa rumus untuk laju adalah ds/dt = ‖v(t)‖, ingat kembali rumus turunan fungsi invers, sehingga menjadi dt/ds = 1/‖v(t)‖. Masukkan ke rumus kelengkungan:
Untuk kasus khusus dimana ‖v(t)‖ merupakan konstanta, dapat dinyatakan sebagai:
Ingat bahwa umumnya persamaan garis dalam bentuk parametrik adalah r(t) = ⟨x0, y0, z0⟩ + t⟨a, b, c⟩. Ketika vektor ini diturunkan terhadap t menjadi r'(t) = ⟨a, b, c⟩, dan turunan kedua dari vektor ini adalah 0. Ingat kembali bahwa pembilang dari rumus kelengkungan melibatkan perkalian dengan turunan kedua dari r(t), dan dikarenakan turunan kedua dari vektor posisi ini adalah vektor nol, pembilangnya menjadi nol, dan kelengkungannya nol.
B. Kelengkungan dari lingkaran
Misal sebuah lingkaran berpusat di O, terletak di bidang XOY, dan berjari-jari a. Vektor posisi dari lingkaran tersebut adalah r(t) = a.cos(t)i + a.sin(t)j.
r'(t) = −a.sin(t)i + a.cos(t)j, ‖r'(t)‖² = a².sin²(t) + a².cos²(t) = a²
r''(t) = −a.cos(t)i − a.sin(t)j, ‖r''(t)‖² = ‖−a.cos(t)i − a.sin(t)j‖ = a
Sehingga kelengkungannya adalah 𝜅 = ‖r''(t)‖ / ‖r'(t)‖² = a / a² = 1/a
Jadi, kelengkungan dari lingkaran berjari-jari a adalah 1/a.
C. Kelengkungan dari helix
Misal vektor posisi dari suatu helix adalah r(t) = a.cos(𝜔t)i + a.sin(𝜔t)j + ctk.
r'(t) = −a𝜔.sin(𝜔t)i + a𝜔.cos(𝜔t)j + ck
r''(t) = −a𝜔².cos(𝜔t)i − a𝜔².sin(𝜔t)j
Kelengkungannya adalah:
2. Jari-Jari Kelengkungan
Misalkan P adalah suatu titik pada sebuah kurva datar (yaitu, kurva yang seluruhnya terletak pada bidang XOY) di mana kelengkungannya tidak nol. Perhatikan lingkaran yang menyinggung kurva di titik P dan memiliki kelengkungan yang sama di titik tersebut. Pusat lingkaran ini akan terletak pada sisi cekung dari kurva. Lingkaran ini disebut lingkaran kelengkungan atau lingkaran osculating. Jari-jari lingkaran ini, R = 1/𝜅, disebut jari-jari kelengkungan dan pusatnya adalah pusat kelengkungan. Konsep-konsep ini akan diilustrasikan pada contoh berikutnya.
Bayangkan sebuah kurva, misalnya jalan berkelok-kelok. Di setiap titik pada kurva itu, kita bisa menemukan sebuah lingkaran yang paling menempel pada kurva di titik tersebut. Lingkaran ini seperti menyinggung kurva di titik itu, sehingga disebut lingkaran osculating.
contoh:
Misal diberikan vektor posisi suatu kurva r(t) = 2ti + t²j, tentukan kelengkungannya dan jari-jari lingkaran kelengkungannya!
r'(t) = 2i + 2tj
r''(t) = 2j
3. Kelengkungan Kurva dalam Sudut
Misal φ sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari i ke T, T dapat dinyatakan:
T = cos(φ)i + sin(φ)j
turunan T terhadap φ adalah:
dT/dφ = −sin(φ)i + cos(φ)j, yang mana panjangnya 1 sehingga merupakan vektor satuan. Selain itu, apabila T dikalikan titik dengan vektor turunan T terhadap φ menjadi:
T ∙ (dT/dφ) = −cos(φ)sin(φ) + sin(φ)cos(φ) = 0
Kelengkungan dapat ditentukan sebagai berikut:
4. Rumus Kelengkungan dengan Fungsi Parameter
Setelah membaca poin sebelumnya, kita mendapati φ sebagai sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari i ke T. Kita juga telah mendapati bahwa 𝜅 = |dφ/ds|. Tangen sudut φ adalah:
x = a.cos(t), y = b.sin(t)
x' = −a.sin(t), y' = b.cos(t)
x'' = −a.cos(t), y'' = −b.sin(t)
Komentar
Posting Komentar