Komponen Percepatan dan Binormal

1. Komponen Percepatan

Untuk gerak sepanjang kurva dengan vektor posisi r(t) dan vektor kecepatan satuan T(t) berlaku:

T(t) ∙ T(t) = ‖T(t)‖² = 1, turunkan kedua ruas terhadap t

T(t) ∙ T'(t) + T'(t) ∙ T(t) = 0

T(t) ∙ T'(t) = 0

Ini berarti T(t) dan T'(t) tegak lurus. Hanya saja perlu diketahui bahwa secara umum T'(t) bukan vektor satuan, oleh karena itu didefinisikan vektor normal satuan sebagai:

Bayangkan Sixtyfourians sedang mengendarai mobil di jalan yang berkelok-kelok. Saat mobil mempercepat laju, Anda akan merasakan dorongan ke arah yang berlawanan. Jika mobil mempercepat kecepatannya, Anda akan merasakan dorongan ke belakang, dan ketika mobil belok ke kiri, Anda akan merasakan dorongan ke kanan.

Dua jenis percepatan ini disebut komponen tangensial dan normal dari percepatan. Yang ingin kita lakukan adalah menyatakan vektor percepatan a(t) = r''(t) dalam bentuk komponen-komponen ini, yaitu dalam bentuk vektor satuan tangen T(t) dan vektor satuan normal N(t). Secara khusus, kita ingin mencari skalar a_T dan a_N sehingga:

a = a_TT + a_NN

Ingat kembali bahwa

Perhatikan persamaan yang di kanan, misal diturunkan kedua ruas terhadap t menjadi:

Ingat kembali bahwa a = v', T' = ‖T'‖N, dan ‖T'‖ = 𝜅(ds/dt), kita memperoleh:

Jadi, percepatan dapat dinyatakan sebagai a = a_TT + a_NN, dengan:

a_T disebut sebagai komponen tangensial dan a_N disebut sebagai komponen normal dari percepatan.

Hasil-hasil ini masuk akal jika kita lihat dari sudut pandang fisika. Jika Anda sedang mempercepat laju di jalan lurus, maka komponen tangensial (a_T) bernilai positif, dan kelengkungan (κ) adalah 0 sehingga komponen normal (a_N) adalah 0. Dengan demikian, dalam kasus ini Anda akan merasakan dorongan ke belakang dan tidak ada dorongan ke samping. Di sisi lain, jika Anda sedang berbelok di tikungan dengan kecepatan konstan (yaitu, ds/dt konstan), maka komponen tangensial 0 dan kelengkungan (κ) positif, sehingga a_N bernilai positif. Terakhir, bayangkan Anda sedang berbelok di tikungan sambil mempercepat laju. Dalam kasus ini, baik a_T maupun a_T akan bernilai positif, dan vektor percepatan total akan mengarah ke dalam dan ke depan. Anda akan merasa terdorong ke belakang dan ke samping.

Untuk menghitung a_N, tampaknya kita perlu menghitung kelengkungan (κ). Namun, hal ini dapat dihindari dengan memperhatikan bahwa T dan N saling tegak lurus, sehingga berlaku rumus Pythagoras:

‖a‖² = a_T² + a_N² ↔ a_N² = ‖a‖² − a_T², akarkan masing-masing ruas menjadi:

Ingat kembali bahwa a = a_TT + a_NN

a_NN = a − a_TT

Sehingga dapat ditentukan N sebagai:

2. Bentuk Vektor untuk Komponen Percepatan

Kita dapat menuliskan rumus untuk komponen-komponen percepatan dalam bentuk vektor posisi r. Kita mulai dengan:

a = a_TT + a_NN, kalikan masing-masing ruas dengan T dengan perkalian titik:

T ∙ a = T ∙ (a_TT + a_NN) = a_T(T ∙ T) + a_N(T ∙ N) = a_T(1) + a_N(0) = a_T 

Sebagaimana kita telah mengetahui bahwa T adalah vektor satuan dan bahwa T dan N saling tegak lurus. Dengan demikian, berlaku:

Misal kita mengalikan masing-masing ruas dari a = a_TT + a_NN dengan T dengan perkalian silang:

T × a = T × (a_TT + a_NN) = a_T(T × T) + a_N(T × N) = a_T0 + a_N(T × N) = a_N(T × N)

Ambil norm dari masing-masing ruas:

‖T × a‖ = |a_N|‖T × N‖ = a_N‖T‖‖N‖.sin(π/2) = a_N(1)(1)(1) = a_N, kita mendapati:

Ingat kembali bahwa a_N = (ds/dt)²κ, kita dapat menentukan κ dengan:

3. Binormal

Diberikan kurva C dan vektor satuan T di titik P. Vektor N tegak lurus dengan T. Vektor B = T × N disebut binormal. Vektor T, N dan B membentuk sistem tangan kanan dan dinamakan trihedral di P. Bidang yang dibentuk oleh T dan N dinamakan bidang oskulasi di titik P.

Misal diberikan vektor posisi r(t) = a.cos(𝜔t)i + a.sin(𝜔t)j. Tentukan T, N, B, komponen normal dan tangensial, dan kelengkungannya!

r'(t) = −a𝜔.sin(𝜔t)i + a𝜔.cos(𝜔t)j; ‖r'(t)‖ = a𝜔

r''(t) = −a𝜔².cos(𝜔t)i − a𝜔².sin(𝜔t)j

T = r'(t)/‖r'(t)‖ = [−a𝜔.sin(𝜔t)i + a𝜔.cos(𝜔t)j]/a𝜔 = −sin(𝜔t)i + cos(𝜔t)j

T' = −𝜔.cos(𝜔t)i − 𝜔.sin(𝜔t)j; ‖T'‖ = 𝜔

N = T'/‖T'‖ = [−𝜔.cos(𝜔t)i − 𝜔.sin(𝜔t)j]/𝜔 = −cos(𝜔t)i − sin(𝜔t)j

r' ∙ r'' = a²𝜔³.sin(𝜔t).cos(𝜔t) − a²𝜔³.cos(𝜔t).sin(𝜔t) = 0, sehingga:

a_T = (r' ∙ r'')/‖r'‖ = 0/a𝜔 = 0

a_N = ‖r' × r''‖ / ‖r'‖ = a²𝜔³ / a𝜔 = a𝜔²

κ = ‖r' × r''‖ / ‖r'‖³ = a²𝜔³ / a³𝜔³ = 1/a

Komponen tangensial dari percepatan bernilai 0 karena objek bergerak dalam kecepatan tetap.