Koordinat Permukaan Bumi

Para ahli geografi dan navigator menggunakan sistem koordinat yang sangat terkait dengan koordinat bola, yaitu sistem bujur-lintang. Anggaplah bumi adalah sebuah bola dengan pusat di O, sumbu z positif melewati Kutub Utara, dan sumbu x positif melewati meridian utama. Secara konvensional, bujur dinyatakan dalam derajat ke timur atau barat dari meridian utama, dan lintang dinyatakan dalam derajat ke utara atau selatan dari khatulistiwa. Sangat mudah untuk menentukan koordinat bola dari data tersebut.

Meskipun sebenarnya jari-jari bumi terdapat perbedaan, yang terpendek 6371 km dan yang terpanjang 6378 km. Dikarenakan perbedaannya sangat kecil, dapat diasumsikan bumi berbentuk bola dengan jari-jari 6375 km. Koordinat suatu titik di permukaan bumi dinyatakan dalam lintang dan bujur, pada umumnya 𝜆 melambangkan bujur dan 𝜑 melambangkan lintang.

Kita sepakati garis equator (khatulistiwa) sebagai lintang nol derajat, untuk lintang utara utara nilai 𝜑 positif, dan untuk lintang selatan nilai 𝜑 negatif, berarti nilai 𝜑 berkisar dari −90° sampai 90°.

Kita sepakati Greenwich meridian (garis bujur Greenwich) sebagai bujur nol derajat, untuk bujur timur nilai 𝜆 positif, dan untuk bujur barat nilai 𝜆 negatif, berarti nilai 𝜆 berkisar dari −180° sampai 180°.

1. Jarak Antara Dua Tempat di Permukaan Bumi

Untuk menentukan jarak antara dua tempat di bumi, kita dapat menggunakan koordinat Cartesius sebagai bantuan. Kita sepakati sumbu x positif melalui garis bujur 0°, sumbu y positif melalui 90° BT, dan sumbu z positif melalui kutub utara (90° LU), dan ρ = 6375 km. Kita dapat mengubah koordinat bumi ke koordinat Cartesius:

x = ρ.cos(𝜑).cos(𝜆)

y = ρ.cos(𝜑).sin(𝜆)

z = ρ.sin(𝜑)

Apabila ditarik vektor dari pusat bumi ke permukaan bumi, akan terbentuk vektor arah. Misal diberikan dua tempat di permukaan bumi, lalu ditarik vektor arah dari masing-masing tempat, sudut antara kedua vektor merupakan sudut pusat (𝛾). Dari sudut pusat ini dapat ditentukan jarak (d) antara dua tempat.

Misal dua tempat tersebut P₁(a₁, b₁, c₁) dan P₂(a₂, b₂, c₂), kosinus dari sudut pusat dapat ditentukan sebagai berikut:

Kita dapat mengubah bentuknya, dalam bentuk lintang bujur. Misal P₁(𝜑₁, 𝜆₁) dan P₂(𝜑₂, 𝜆₂) dapat diperoleh bentuk lain:

cos(𝛾) = cos(𝜑₁).cos(𝜆₁).cos(𝜑₂).cos(𝜆₂) + cos(𝜑₁).sin(𝜆₁).cos(𝜑₂).sin(𝜆₂) + sin(𝜑₁).sin(𝜑₂)

cos(𝛾) = cos(𝜑₁).cos(𝜑₂).[cos(𝜆₁).cos(𝜆₂) + sin(𝜆₁).sin(𝜆₂)] + sin(𝜑₁).sin(𝜑₂)

cos(𝛾) = cos(𝜑₁).cos(𝜑₂).cos(𝜆₁ − 𝜆₂) + sin(𝜑₁).sin(𝜑₂)

Ketika 𝛾 sudah didapatkan, nyatakan dalam bentuk radian, lalu kita dapat menentukan jarak (d) sebagai:

d = ρ𝛾

contoh:

Tentukan jarak antara kota Paris (48,4° LU; 2,2° BT) dan kota Calcutta(22,3° LU; 88,2° BT)!

Diketahui 𝜑₁ = 48,4°; 𝜑₂ = 22,3°

𝜆₁ = 2,2°; 𝜆₂ = 88,2°; 𝜆₁ − 𝜆₂ = 2,2° − 88,2° = −86°

cos(𝛾) = cos(𝜑₁).cos(𝜑₂).cos(𝜆₁ − 𝜆₂) + sin(𝜑₁).sin(𝜑₂)

cos(𝛾) = cos(48,4°).cos(22,3°).cos(−86°) + sin(48,4°).sin(22,3°)

cos(𝛾) = (0,66913).(0,92718).(0,06976) + (0,74314)(0,37461)

cos(𝛾) = 0,32166

𝛾 = arccos(0,32166) = 71,2364° = 1,243309581 rad

d = ρ𝛾 = 6375.(1,243309581) = 7926 km

Jadi, jarak dari kota Paris ke Calcutta adalah 7926 km.

2. Panjang Garis Lintang

Untuk menentukan panjang garis lintang, ingat kembali cara mengubah dari koordinat Bola ke Tabung, tetapi dengan koordinat permukaan bumi, akan diperoleh jari-jari penampang tabung:

r = ρ.cos(𝜑)

Panjang garis lintang sama dengan keliling penampang tabung, sehingga dirumuskan:

‖𝜑‖ = 2𝜋r = 2𝜋ρ.cos(𝜑)

Sebagaimana yang kita ketahui bahwa garis lintang terpanjang adalah equator (khatulistiwa), kita dapat merumuskan panjang garis lintang berdasarkan panjang khatulistiwa:

‖𝜑‖ = ‖eq‖.cos(𝜑)

3. Panjang dan Lebar Negara atau Wilayah

Misal diberikan letak astronomis suatu negara atau wilayah dengan 𝜑_max merupakan batas utara, 𝜑_min merupakan batas selatan, 𝜆_max merupakan batas timur, dan 𝜆_min merupakan batas barat.

Lebar dari suatu negara atau wilayah dapat ditentukan berdasarkan selisih lintang dari batas utara dan batas selatan, ditulis sebagai:

w = ρ(𝜑_max − 𝜑_min), dengan 𝜑 dalam radian

Adapun panjang dari suatu negara atau wilayah dapat ditentukan berdasarkan selisih bujur dari batas timur dan batas barat. Permasalahannya adalah panjang garis lintang berbeda-beda, kita dapat memilih garis lintang terpanjang sebagai patokannya.

Untuk negara atau wilayah yang melewati equator, tentunya equator merupakan garis lintang terpanjang, sehingga kita dapat merumuskannya sebagai:

ℓ = ρ(𝜆_max − 𝜆_min), dengan 𝜆 dalam radian

Adapun untuk negara atau wilayah yang tidak melewati equator, garis lintang terpanjangnya adalah yang lebih dekat ke equator, berarti yang nilai mutlaknya terkecil.

𝜑' = min(|𝜑_max|, |𝜑_min|), setelah diperoleh 𝜑', dapat ditentukan panjangnya:

ℓ = ρ.(𝜆_max − 𝜆_min).cos(𝜑'), dengan 𝜆 dalam radian

contoh:

Indonesia terletak pada koordinat antara antara 6° 04' 30" LU dan 11° 00' 36" LS serta antar 94° 58' 21" dan 141° 01' 10" BT, tentukan panjang dan lebar Indonesia!

𝜑_max = 6° 04' 30" LU = 0,106029 rad

𝜑_min = 11° 00' 36" LS = −0,192161 rad

𝜑_max − 𝜑_min = 0,106029 − (−0,192161) = 0,29819 rad

w = ρ(𝜑_max − 𝜑_min) = 6375(0,29819) = 1901 km

𝜆_max = 141° 01' 10" BT = 2,461254 rad

𝜆_min = 94° 58' 21" BT = 1,657583 rad

𝜆_max − 𝜆_min = 2,461254 − 1,657583 = 0,803671

Dikarenakan Indonesia melewati equator, kita dapat memilih equator sebagai lintang terpanjang (𝜑').

ℓ = 6375(0,803671) = 5123 km

Jadi, panjang Indonesia adalah 5123 km dan lebarnya 1901 km.