Pengenalan Koordinat Ruang

1. Letak Titik dalam Ruang

Untuk menentukan titik dalam ruang, kita dapat menggunakan beberapa macam sistem koordinat ruang. Sistem koordinat ruang yang paling umum digunakan adalah sistem koordinat tegak lurus (sistem koordinat Cartesian).

Sistem ini pada prinsipnya kita memilih suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik dan ditentukan pula oleh himpunan semua tripel-tripel tertentu dari bilangan-bilangan nyata. Ketiga garis tersebut merupakan sumbu-sumbu koordinat. 

Sedangkan tripel (x, y, z) mewakili satu titik dalam ruang. Dengan kata lain terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan titik-titik di dalam ruang dengan himpunan semua tripel terurut bilangan-bilangan nyata.

Masing-masing x, y dan z boleh positif atau negatif, tergantung arah mengukurnya, apakah ke arah positif atau ke arah negatif dari sumbu-sumbu koordinat.

Dalam hal sebaliknya, yaitu diketahui tripel terurut bilangan (x, y, z), kita dapat menentukan titik tertentu yang koordinatnya x, y dan z. Untuk itu kita kerjakan sebagai berikut:

Berturut-turut ukur OA = x, OB = y, dan OC = z sepanjang sumbu-sumbu x, y dan z (dengan memperhatikan arah positif dan negatifnya).

Berturut-turut gambar bidang-bidang melalui A, B, dan C yang sejajar bidang-bidang koordinat yoz, zox, xoy. Titik potong, ketiga bidang tersebut adalah titik tertentu yang dimaksud.

Jika titik T berkoordinat x, y dan z, kita dapat menuliskannya T(x, y, z), x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat dari titik T.

Dengan diterapkannya suatu sistem koordinat tegak lurus maka ruang akan terbagi menjadi delapan bagian. Masing-masing bagian disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut:

Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z > 0

Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z > 0

Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z > 0

Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z > 0

Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z < 0

Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z < 0

Oktan VII berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z < 0

Oktan VIII berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z < 0

Penomoran oktan ini dapat disusun ke tabel sebagai berikut:

Nomor	x	y	z
I	+	+	+
II	–	+	+
III	–	–	+
IV	+	–	+
V	+	+	–
VI	–	+	–
VII	–	–	–
VIII	+	–	–

2. Jarak Antara Dua Titik

Misal titik P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂), perhatikan balok ANBP.LQMC berikut:

Segmen PQ merupakan diagonal ruang balok, sehingga dapat ditentukan menggunakan rumus Pythagoras sebagai berikut:

PQ² = PN² + NQ² = PA² + AN² + NQ² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²