Deret Positif (atau Non-Negatif)

1. Jumlah Parsial Terbatas

Sebuah deret ∑a_n dengan suku-suku non-negatif konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas pada batas atas.

Misalkan S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n. Karena a_k ≥ 0, maka S_n+1 ≥ S_n; artinya, {S_n} adalah barisan tak mengecil. Dengan demikian, barisan {S_n} akan konvergen jika dan hanya jika terdapat bilangan U sedemikian sehingga S_n ≤ U untuk semua n. Jika tidak, nilai-nilai S_n akan terus bertambah tanpa batas, dalam hal ini {S_n} divergen.

Deret dengan suku-suku non-negatif, kita bisa menentukan apakah deret tersebut konvergen atau tidak dengan melihat jumlah parsialnya. Jika jumlah parsial selalu lebih kecil dari suatu nilai tertentu (batas atas), maka deret tersebut konvergen. Sebaliknya, jika jumlah sebagian terus bertambah tanpa batas, maka deret tersebut divergen.

contoh:

Selidiki konvergensi deret 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + ...

Pertimbangkan bahwa:

Hal ini berakibat:

Jadi, deret ini konvergen karena terbatas, selalu kurang dari 2.

2. Uji Integral

Misalkan f adalah fungsi kontinu, positif, dan tidak naik pada interval [1, ∞), dan misalkan a_k = f(k) untuk setiap bilangan bulat positif k, berlaku:

Perhatikan gambar berikut: Poligon dalam

Poligon luar

Gambar diatas menunjukkan bagaimana kita dapat menginterpretasikan jumlah parsial dari deret ∑aₖ sebagai luas dan dengan demikian menghubungkan deret tersebut dengan integral yang sesuai. Perhatikan bahwa luas setiap persegi panjang sama dengan tingginya, karena lebarnya adalah 1 dalam setiap kasus. Dari diagram-diagram ini, kita dengan mudah melihat bahwa:

(i) Misalkan integral tak hingga dari f konvergen, berlaku:

Dikarenakan jumlah parsialnya terbatas, akibatnya deret ini konvergen.

(ii) Misalkan barisan {a_k} membentuk deret konvergen, jika t ≤ n maka:

Dikarenakan ruas kiri terbatas, limitnya menuju tak hingga harus ada, sehingga integral tak hingga dari f konvergen.
Kesimpulannya, deret tak hingga maupun integral tak hingga ini konvergen atau divergen bersama.

3. Uji Konvergensi Deret-p

Ingat kembali integral-p:

Integral-p ini divergen untuk p ≤ 1 dan konvergen untuk p > 1. Berdasarkan hasil uji integral, deret tak hingga dan integral tak hingga konvergen dan divergen bersama. Ini berarti deret-p dan integral-p konvergen dan divergen bersama.

Berikut bentuk deret-p:

Ada suatu fungsi yang mirip dengan deret-p ini, yaitu fungsi zeta yang didefinisikan sebagai berikut:

4. Uji Komparasi Deret

Suatu deret dengan suku-suku yang lebih kecil dari suku-suku yang bersesuaian dari deret yang konvergen seharusnya juga konvergen; suatu deret dengan suku-suku yang lebih besar dari suku-suku yang bersesuaian dari deret yang divergen seharusnya juga divergen. Apa yang seharusnya benar, memang benar.

Misalkan 0 ≤ a_n ≤ b_n untuk n ≥ N.

(i) Jika ∑b_n konvergen, maka ∑a_n juga konvergen.

(ii) Jika ∑a_n divergen, maka ∑b_n juga divergen.

Kita membandingkan suku-suku dari dua deret, yaitu ∑a_n dan ∑b_n. Jika setiap suku dari deret ∑a_n lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian di deret ∑b_n mulai dari suatu indeks tertentu N, maka kita bisa menarik kesimpulan tentang konvergensi atau divergensi dari kedua deret tersebut.

Jika deret ∑b_n (yang suku-sukunya lebih besar atau sama dengan ∑a_n) konvergen, maka deret ∑a_n juga pasti konvergen. Ini karena jika deret yang "lebih besar" saja sudah konvergen, maka deret yang "lebih kecil" tentu juga akan konvergen.

Sebaliknya, jika deret ∑a_n (yang suku-sukunya lebih kecil atau sama dengan ∑b_n) divergen, maka deret ∑b_n juga pasti divergen. Ini karena jika deret yang "lebih kecil" saja sudah divergen, maka deret yang "lebih besar" tentu juga akan divergen.

contoh:

Selidiki konvergensi deret:

Perlu diketahui bahwa berlaku komparasi berikut:

Dikarenakan ruas paling kanan menghasilkan deret konvergen, tentunya ruas kiri juga menghasilkan deret konvergen. Jadi, deret ini konvergen.

5. Uji Komparasi Limit

Dapatkah kita menghindari komparasi yang rumit dengan pertidaksamaan? Intuisi kita mengatakan bahwa ∑a_n dan ∑b_n konvergen atau divergen bersama-sama, asalkan a_n dan b_n kira-kira sama besar untuk n yang besar (dengan atau tanpa konstanta perkalian).

Misalkan a_n ≥ 0, b_n > 0, dan

Jika 0 < L < ∞, maka ∑a_n dan ∑b_n konvergen atau divergen bersama-sama. Kasus khususnya jika L = 0 dan ∑b_n konvergen, maka ∑a_n juga konvergen.

Mulai dengan mengambil ε = L/2 dalam definisi limit suatu barisan. Ada bilangan N sedemikian sehingga untuk n ≥ N, |(a_n/b_n) − L| < L/2; berdasarkan definisi nilai mutlak:

Tambahkan masing-masing ruas dengan L menjadi:

Oleh karena itu, untuk n ≥ N, akan berlaku:

Kedua pertidaksamaan ini bersama uji komparasi, mengharuskan ∑a_n dan ∑b_n konvergen atau divergen bersama-sama.

Pertidaksamaan yang baru saja kita dapatkan menunjukkan bahwa a_n dan b_n memiliki hubungan perbandingan yang konstan untuk n yang cukup besar. Ini memungkinkan kita untuk menerapkan uji komparasi, yang menyatakan bahwa jika dua deret memiliki suku-suku yang sebanding, maka keduanya akan konvergen atau divergen bersama-sama.

Kita tidak lagi membandingkan suku-suku secara langsung, tetapi kita melihat perbandingan limit dari suku-suku ketika n menuju tak hingga. Jika limit ini adalah bilangan positif yang terbatas (antara 0 dan tak hingga), maka kedua deret memiliki perilaku yang sama (keduanya konvergen atau keduanya divergen).

Kasus khusus, jika limitnya adalah 0 dan deret ∑b_n konvergen, maka deret ∑a_n juga pasti konvergen. Ini karena jika pembilang (a_n) tumbuh jauh lebih lambat dibandingkan penyebut (b_n), maka suku-suku dari ∑a_n akan menjadi sangat kecil sehingga deretnya konvergen.

Uji komparasi limit ini lebih fleksibel, karena kita tidak perlu mencari pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai n, cukup dengan melihat perilaku limitnya. Dalam banyak kasus, menghitung limit lebih mudah daripada menemukan pertidaksamaan yang tepat.

contoh:

Selidiki konvergensi deret:

Kita dapat melakukan uji limit deret ini terhadap deret harmonik.

Uji limit deret ini dengan deret harmonik menghasilkan limitnya 1, yang mana 0 < 1 < ∞, hal ini mengharuskan deret ini divergen bersama deret harmonik. Jadi, deret ini divergen.

6. Uji Rasio

Mendapatkan hasil yang berguna dari uji banding membutuhkan pemahaman yang mendalam atau ketekunan. Kita harus memilih dengan bijak di antara deret-deret yang sudah diketahui untuk menemukan satu yang tepat untuk dibandingkan dengan deret yang ingin kita uji. Bukankah akan lebih baik jika kita bisa membandingkan suatu deret dengan dirinya sendiri dan dengan demikian menentukan konvergensi atau divergensi? Secara kasar, inilah yang kita lakukan dalam Uji Rasio.

Misalkan ∑a_n adalah deret dengan suku-suku positif dan misalkan

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen.

Jika ρ < 1, artinya suku-suku berikutnya menjadi semakin kecil dengan cepat, sehingga deret akan konvergen.

(ii) Jika ρ > 1 atau jika limitnya ∞, maka deret divergen.

Jika ρ > 1, artinya suku-suku berikutnya menjadi semakin besar dengan cepat, sehingga deret akan divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak meyakinkan.

Jika ρ = 1, uji ini tidak dapat memberikan kesimpulan yang pasti, dan kita perlu menggunakan uji lain.

Untuk kasus dimana ρ ≠ 1, membuat rasio seolah-olah rasio deret geometri, sehingga perilakunya mirip dengan deret geometri.

Sedangkan untuk ρ = 1, terkadang konvergen dan terkadang divergen.

7. Ringkasan Uji Konvergensi

Untuk menguji suatu deret ∑a_n dengan suku-suku positif untuk menentukan apakah ia konvergen atau divergen, perhatikan dengan seksama suku ke-n, a_n.

A. Uji Suku ke-n: Jika lim (a_n) ≠ 0 ketika n menuju tak hingga, maka berdasarkan Uji Suku ke-n, deret tersebut divergen.

Ini adalah uji awal yang mudah. Jika suku-suku tidak mendekati nol, maka deret pasti divergen.

B. Uji Rasio: Jika a_n melibatkan faktorial (n!), pangkat (rⁿ), atau pangkat dari n, cobalah Uji Rasio.

Uji ini sangat berguna untuk deret yang melibatkan faktorial atau pangkat, karena dapat menyederhanakan perhitungan.

C. Uji Perbandingan Limit: Jika a_n hanya melibatkan pangkat konstan dari n, cobalah Uji Perbandingan Limit. Khususnya, jika a_n adalah ekspresi rasional dalam n, gunakan uji ini dengan b_n sebagai hasil bagi suku-suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut.

Uji ini cocok untuk deret yang melibatkan pangkat konstan dari n, terutama ekspresi rasional.

D. Uji Lain: Jika uji-uji di atas tidak berhasil, cobalah Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau Uji Jumlah Terbatas.

Jika uji-uji sebelumnya tidak memberikan hasil, kita bisa mencoba uji-uji lain yang lebih umum.

E. Trik Lain: Beberapa deret mungkin memerlukan manipulasi khusus atau trik tertentu untuk menentukan konvergensi atau divergensi.

Beberapa deret mungkin memerlukan pendekatan yang lebih kreatif.

8. Deret Selang-Seling

Deret berselang-seling, yaitu deret yang berbentuk

a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + ...

dengan aₙ > 0 untuk semua n. Contoh penting dari deret berselang-seling adalah deret harmonik berselang-seling:

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ...

Kita telah melihat bahwa deret harmonik divergen; namun, deret harmonik berselang-seling konvergen.

Misalkan kita memiliki barisan {aₙ} yang menurun, artinya aₙ₊₁ < aₙ untuk semua n. Misalkan Sₙ memiliki makna seperti biasa. Dengan demikian, untuk deret berselang-seling a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + ..., kita memiliki:

S₁ = a₁

S₂ = a₁ − a₂ = S₁ − a₂

S₃ = a₁ − a₂ + a₃ = S₂ + a₃

S₄ = a₁ − a₂ + a₃ − a₄ = S₃ − a₄

dan seterusnya.

Perhatikan bahwa suku-suku berindeks genap S₂, S₄, S₆, ... merupakan barisan naik dan terbatas di atas, sehingga pasti konvergen ke suatu limit, sebut saja S'. Demikian pula, suku-suku berindeks ganjil S₁, S₃, S₅, ... merupakan barisan turun dan terbatas di bawah. Mereka juga konvergen, sebut saja ke S''.

Baik S' maupun S'' berada di antara Sₙ dan Sₙ₊₁ untuk semua n, sehingga

|S'' − S'| ≤ |Sₙ₊₁ − Sₙ| = aₙ₊₁

Dengan demikian, kondisi aₙ₊₁ → 0 ketika n → ∞ akan menjamin bahwa S' = S", dan akibatnya, konvergensi deret ke nilai umum mereka, yang kita sebut S.

Terakhir, kita perhatikan bahwa, karena S berada di antara Sₙ dan Sₙ₊₁,

|S − Sₙ| ≤ |Sₙ₊₁ − Sₙ| = aₙ₊₁

Artinya, kesalahan yang dibuat dengan menggunakan Sₙ sebagai pendekatan untuk jumlah S dari seluruh deret tidak lebih besar dari besarnya suku pertama yang diabaikan.

Misalkan

a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + ...

adalah deret berselang-seling dengan aₙ > aₙ₊₁ > 0. Jika limit aₙ = 0 ketika n menuju tak hingga, maka deret tersebut konvergen. Lebih lanjut, kesalahan yang dibuat dengan menggunakan jumlah Sₙ dari n suku pertama untuk mendekati jumlah S dari seluruh deret tidak lebih dari aₙ₊₁.

9. Konvergensi Absolut

Jika ∑|uₙ| konvergen, maka ∑uₙ juga konvergen.

Misalkan vₙ = uₙ + |uₙ|, sehingga

uₙ = vₙ − |uₙ|

Sekarang, 0 ≤ vₙ ≤ 2|uₙ|, sehingga ∑vₙ konvergen menurut uji perbandingan biasa. Menurut sifat linearitas, diperoleh bahwa ∑uₙ = ∑(vₙ − |uₙ|) juga konvergen.

Suatu deret ∑uₙ dikatakan konvergen mutlak jika ∑|uₙ| konvergen. Konvergensi mutlak menyiratkan konvergensi. Semua uji konvergensi untuk deret dengan suku-suku positif secara otomatis juga merupakan uji untuk konvergensi mutlak dari suatu deret yang beberapa sukunya negatif.

10. Uji Rasio Mutlak

Misalkan ∑uₙ adalah deret dengan suku-suku tak nol dan misalkan

(i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak (dan dengan demikian konvergen).

(ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen.

(iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak meyakinkan.

11. Konvergensi Kondisional

Perhatikan deret harmonik berselang-seling. Kita tahu bahwa

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ...

konvergen, tetapi

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

divergen. Suatu deret ∑uₙ dikatakan konvergen kondisional jika ∑uₙ konvergen tetapi ∑|uₙ| divergen. Deret harmonik berselang-seling adalah contoh utama dari deret yang konvergen kondisional, tetapi masih banyak contoh lainnya.