Diferensiabilitas Fungsi Dua Variabel

Untuk suatu fungsi satu variabel, diferensiabilitas dari f pada titik x berarti adanya turunan f'(x). Hal ini semakna dengan grafik f memiliki garis singgung non-vertikal pada titik x. Lalu, apa konsep diferensiabilitas yang tepat untuk fungsi dua variabel? Tentu saja, itu harus sesuai secara alami dengan keberadaan bidang singgung, dan jelas ini membutuhkan lebih dari sekadar keberadaan turunan parsial dari f, karena mereka hanya mencerminkan perilaku f dalam dua arah. Untuk menekankan hal ini, pertimbangkan:

f(x, y) = −10√(|xy|)

Perhatikan bahwa f_x(0,0) dan f_y(0,0) keduanya ada dan sama dengan 0; namun tidak ada yang akan mengklaim bahwa grafik memiliki bidang singgung pada titik asal. Alasannya, tentu saja, grafik f tidak dapat didekati dengan baik di sana oleh bidang apa pun (khususnya, bidang XOY) kecuali dalam dua arah. Sebuah bidang singgung seharusnya mendekati grafik dengan sangat baik di semua arah.

Pertimbangkan pertanyaan kedua: Apa yang berperan sebagai turunan untuk suatu fungsi dari dua variabel? Sekali lagi, turunan parsial tidak cukup, jika bukan karena alasan lain, karena ada dua di antaranya.

Untuk menjawab kedua pertanyaan ini, kita mulai dengan mengurangi perbedaan antara titik (x, y) dan vektor 〈x, y〉. Dengan demikian, kita tulis p = (x, y) = 〈x, y〉 dan f(p) = f(x, y). Ingat kembali bahwa:

secara analog, kita dapat mencari turunan f'(p) sebagai berikut:

tetapi sayangnya pembagian dua vektor tidak didefinisikan.

Namun jangan menyerah begitu cepat. Cara lain untuk melihat diferensiabilitas suatu fungsi satu variabel adalah sebagai berikut. Jika f terdiferensiasi pada a, maka terdapat garis singgung melalui (a, f(a)) yang mendekati fungsi untuk nilai x di sekitar a. Dengan kata lain, f hampir linear di sekitar a. 

Hal ini untuk suatu fungsi satu variabel; ketika kita memperbesar grafik y = f(x), kita melihat bahwa garis singgung dan fungsi menjadi hampir tidak dapat dibedakan.

Untuk lebih tepatnya, kita mengatakan bahwa suatu fungsi f secara lokal linear di a jika terdapat konstanta m sedemikian sehingga

f(a + h) = f(a) + mh + hε(h)

di mana ε(h) adalah fungsi yang memenuhi limit ε(h) ketika h mendekati 0 adalah 0. Dengan menyelesaikan untuk ε(h), kita dapatkan:

Fungsi ε(h) adalah selisih antara kemiringan garis secant yang melalui titik (a, f(a)) dan (a + h, f(a + h)) dengan kemiringan garis singgung melalui (a, f(a)). Jika f secara lokal linear di a, maka

yang berarti bahwa

Kita menyimpulkan bahwa f harus dapat diturunkan di a dan m harus sama dengan f'(a).

Konsep-konsep Penting:

• Linearitas Lokal: Sebuah fungsi dikatakan linear secara lokal di suatu titik jika grafik fungsi di sekitar titik tersebut sangat mirip dengan garis lurus (garis singgung).

• Konstanta m: Konstanta m mewakili kemiringan garis singgung pada titik a.

• Fungsi ε(h): Fungsi ε(h) mengukur seberapa jauh penyimpangan nilai fungsi sebenarnya dari nilai aproksimasi yang diberikan oleh garis singgung. Jika fungsi secara lokal linear, maka ε(h) akan mendekati nol ketika h mendekati nol.

• Garis Secant dan Garis Singgung: Garis secant adalah garis yang menghubungkan dua titik pada kurva, sedangkan garis singgung adalah garis yang menyinggung kurva pada satu titik.

Sebaliknya, jika f diferensiabel di a, maka

oleh karena itu, f secara lokal linear. Jadi, untuk fungsi satu variabel, f secara lokal linear di a jika dan hanya jika f diferensiabel di a.

Konsep linearitas lokal ini dapat diperluas ke fungsi dua variabel, dan kita akan menggunakan karakteristik ini untuk mendefinisikan diferensiabilitas suatu fungsi dua variabel.

1. Linearitas Lokal

Kita katakan bahwa fungsi f bersifat linear secara lokal di titik (a, b) jika:

f(a + h₁, b + h₂) = f(a, b) + h₁f_x(a, b) + h₂f_y(a, b) + h₁ε₁(h₁, h₂) + h₂ε₂(h₁, h₂)

dimana ε₁(h₁, h₂) dan ε₂(h₁, h₂) mendekati 0 ketika (h₁, h₂) mendekati 0.

Sama seperti h merupakan kenaikan kecil pada x untuk kasus satu variabel, kita dapat menganggap h₁ dan h₂ sebagai kenaikan kecil pada x dan y, masing-masing, untuk kasus dua variabel.

Untuk fungsi satu variabel, kita dapat menggambar garis singgung pada suatu titik untuk mendekati grafik fungsi di sekitar titik tersebut. Untuk fungsi dua variabel, kita menggunakan bidang singgung untuk mendekati permukaan fungsi di sekitar suatu titik.

Misalkan p₀ = (a, b), h = (h₁, h₂), ε(h) = (ε₁(h₁, h₂), ε₂(h₁, h₂)), kita dapat menuliskan definisi linearitas lokal sebagai:

f(p₀ + h) = f(p₀) + (f_x(p₀), f_y(p₀)) ∙ h + ε(h) ∙ h 

Perumusan ini mudah untuk dibawa ke kasus dimana f fungsi dari tiga (atau lebih) variabel.

2. Diferensiabilitas Fungsi

Definisi: Fungsi f dikatakan diferensiabel pada titik p jika fungsi tersebut linear secara lokal pada titik p. Fungsi f dikatakan diferensiabel pada daerah terbuka R jika fungsi tersebut diferensiabel pada setiap titik di R.

Definisi ini memberikan kita pemahaman tentang kapan sebuah fungsi dikatakan dapat diturunkan (diferensiabel) ketika kita berbicara tentang fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel (misalnya, fungsi dari dua variabel x dan y). Definisi ini menghubungkan konsep diferensiabilitas dengan konsep linearitas lokal. Jika sebuah fungsi dapat diturunkan pada suatu titik, maka di sekitar titik tersebut, fungsi tersebut berperilaku seperti fungsi linear (atau lebih tepatnya, seperti bidang datar).

Bayangkan sebuah permukaan bukit. Jika kita memperbesar permukaan bukit di sekitar suatu titik, maka permukaan tersebut akan terlihat semakin datar. Ini adalah contoh dari konsep linearitas lokal. Semakin datar permukaan tersebut, semakin baik kita dapat mengaproksimasinya dengan bidang datar.

Vektor (f_x(p), f_y(p)) = f_x(p)i + f_y(p)j dinotasikan ∇f(p), yang disebut sebagai gradien dari f.

Jadi, f diferensiabel di p jika dan hanya jika terdapat ∇f(p) sedemikian sehingga

f(p + h) = f(p) + ∇f(p) ∙ h + ε(h) ∙ h 

dimana ε(h) mendekati 0 ketika h mendekati 0.

Operator ∇ dibaca "del" atau biasa disebut "operator del", boleh juga disebut "nabla".

Dalam konteks yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien menjadi analog dari turunan. Minfor ingin menyoroti beberapa aspek dari definisi ini:

(i) Turunan f'(x) adalah sebuah bilangan, sedangkan gradien ∇f(p) adalah sebuah vektor.

(ii) Hasil kali ∇f(p) · h dan ε(h) · h adalah hasil kali titik.

(iii) Definisi diferensiabilitas dan gradien dapat dengan mudah diperluas ke sembarang dimensi.

3. Diferensiabilitas pada Daerah dan Titik

Jika fungsi f(x, y) memiliki turunan parsial kontinu f_x(x, y) dan f_y(x, y) pada daerah D yang bagian dalamnya memuat titik (a, b), maka f(x, y) dapat diturunkan pada titik (a, b).

Konsep-konsep:

• Turunan parsial kontinu artinya turunan parsial dari fungsi f terhadap x (f_x) dan terhadap y (f_y) ada dan kontinu pada daerah D. Ini berarti bahwa kemiringan fungsi pada arah x dan y berubah secara mulus di sekitar titik (a, b).

• Daerah D: Daerah ini adalah wilayah di mana kita memeriksa sifat kelancaran dari turunan parsial. Titik (a, b) harus berada di dalam daerah ini.

• Diferensiabel pada (a, b): Ini berarti bahwa fungsi f dapat didekati dengan baik oleh bidang singgung pada titik (a, b). Dengan kata lain, grafik fungsi di sekitar titik (a, b) akan terlihat semakin mirip dengan bidang datar jika kita memperbesar cukup jauh.

Jika fungsi f dapat diturunkan (diferensiabel) pada titik p₀, maka ketika h (perubahan kecil) sangat kecil, berlaku:

f(p₀ + h) ≈ f(p₀) + ∇f(p₀) · h 

Dengan mengambil p = p₀ + h, kita menemukan bahwa fungsi T yang didefinisikan sebagai:

T(p) = f(p₀) + ∇f(p₀) · (p − p₀)

merupakan aproksimasi yang baik untuk f(p) jika p dekat dengan p₀. Persamaan z = T(p) mendefinisikan sebuah bidang yang mendekati fungsi f di sekitar p₀. Bidang ini secara alami disebut bidang singgung.

Contoh:

Tunjukkan bahwa f(x, y) = xe^y + x²y dapat diturunkan dimana-mana dan tentukan gradiennya, lalu tentukan persamaan bidang singgung di titik (2, 0).

f_x(x, y) = e^y + 2xy dan f_y(x, y) = xe^y + x². Kedua turunan parsial pertama ini kontinu dimana-mana, dan tentunya dapat diturunkan dimana-mana. Gradiennya adalah:

∇f(x, y) = (e^y + 2xy)i + (xe^y + x²)j = 〈e^y + 2xy, xe^y + x²〉

∇f(2, 0) = 〈e⁰ + 2.2.0, 2e⁰ + 2²〉 = 〈1, 6〉

Persamaan bidang singgungnya adalah:

z = f(2, 0) + ∇f(2, 0) · 〈x − 2, y − 0〉

= 2e⁰ + 2²0 + 〈1, 6〉 · 〈x − 2, y〉

= 2 + x − 2 + 6y

= x + 6y

Jadi, persamaan bidang singgungnya adalah z = x + 6y.

4. Aturan-Aturan Gradien

Misal f dan g fungsi-fungsi yang dapat diferensiabel di p dan α konstanta real, berikut sifat-sifat dari operator ∇:

1. ∇[f(p) + g(p)] = ∇f(p) + ∇g(p)

2. ∇[α.f(p)] = α.∇f(p)

3. ∇[f(p).g(p)] = f(p).∇g(p) + g(p).∇f(p)

5. Kontinuitas vs Diferensiabilitas

Jika f diferensiabel di p, maka f kontinu di p.

Perhatikan uraian berikut:

Karena f dapat diturunkan (diferensiabel) di p, maka:

f(p + h) − f(p) = ∇f(p) · h + ε(h) · h 

≤ |∇f(p) · h| + |ε(h) · h|

= ‖∇f(p)‖ ‖h‖ |cos(θ)| + |ε(h) · h|

Kedua suku terakhir mendekati 0 ketika h mendekati 0, sehingga:

Persamaan terakhir ini adalah salah satu cara untuk merumuskan kontinuitas f di p.

6. Medan Gradien

Gradien ∇f mengaitkan setiap titik p dalam domain f dengan sebuah vektor ∇f(p). Kumpulan dari semua vektor ini disebut medan gradien untuk f. Kedua gambar diatas menunjukkan grafik permukaan z = x² − y² dan medan gradien yang bersesuaian. Apakah gambar-gambar ini memberikan petunjuk tentang arah vektor gradien? Kita akan menjelajahi topik ini pada artikel selanjutnya.

Medan gradien adalah kumpulan dari semua vektor gradien pada setiap titik dalam domain suatu fungsi. Ini memberikan gambaran visual tentang bagaimana fungsi berubah di setiap titik. Cobalah mengamati gambar-gambar tersebut dan mencoba memahami ke mana arah vektor gradien menunjuk. Secara umum, vektor gradien selalu menunjuk ke arah peningkatan nilai fungsi paling cepat.