Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial.

Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y) dalam mendekati (a, b). Untungnya, definisi formal yang diberikan pertama kali untuk fungsi bernilai real dari satu variabel dan kemudian untuk fungsi bernilai vektor mirip dengan apa yang kita butuhkan di sini.

Sebagai contoh, misal diberikan f(x, y) = [sin(x² + y²)]/(x² + y²). Nilai f tidak terdefinisi pada titik (0, 0), tetapi apabila dilakukan pendekatan:

	−1	−0,5	−0,2	0	0,2	0,5	1
−1	0,455	0,759	0,829	0,841	0,829	0,759	0,455
−0,5	0,759	0,959	0,986	0,990	0,986	0,959	0,759
−0,2	0,829	0,986	0,999	1,000	0,999	0,986	0,829
0	0,841	0,990	1,000	undef	1,000	0,990	0,841
0,2	0,829	0,986	0,999	1,000	0,999	0,986	0,829
0,5	0,759	0,959	0,986	0,990	0,986	0,959	0,759
1	0,455	0,759	0,829	0,841	0,829	0,759	0,455

Semakin mendekati (0, 0) nilai f(x, y) semakin mendekati 1, oleh karena itu boleh dituliskan:

Grafik fungsi:

Dari grafik juga terlihat bahwa semakin mendekati (0, 0) nilai f(x, y) semakin mendekati 1.

Contoh lainnya, misal diberikan g(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²), nilai g tidak terdefinisi pada (0, 0), sedangkan apabila dilakukan pendekatan:

	−1	−0,5	−0,2	0	0,2	0,5	1
−1	0,000	-0,600	-0,923	-1,000	-0,923	-0,600	0,000
−0,5	0,600	0,000	-0,724	-1,000	-0,724	0,000	0,600
−0,2	0,923	0,724	0,000	-1,000	0,000	0,724	0,923
0	1,000	1,000	1,000	undef	1,000	1,000	1,000
0,2	0,923	0,724	0,000	-1,000	0,000	0,724	0,923
0,5	0,600	0,000	-0,724	-1,000	-0,724	0,000	0,600
1	0,000	-0,600	-0,923	-1,000	-0,923	-0,600	0,000

Nilai g(x, y) tidak mendekati bilangan apapun ketika (x, y) mendekati (0, 0), dikatakan limitnya tidak ada. Berikut grafik fungsi g:

Dari grafiknya, terlihat nilai g(x, y) tidak terkumpul ke satu titik ketika (x, y) mendekati (0, 0).

1. Definisi Limit Dua Variabel

Kita telah melihat contoh awal, kita mengatakan tentang limit fungsi dua variabel. Kita mengatakan:

berarti semakin (x, y) mendekati (a, b), nilai f(x, y) semakin mendekati L, sepanjang lintasan pendekatan manapun di daerah asal f.

Fikirkan (x, y) dan (a, b) sebagai vektor, ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏)‖ diinterpretasikan sebagai jarak antara kedua titik:

Titik-titik (x, y) yang memenuhi 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏)‖ < 𝛿 adalah titik-titik yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari 𝛿 kecuali titik (a, b) itu sendiri.

Definisi limit dua variabel:

 berarti bahwa untuk setiap 𝜀 > 0 (sekecil apapun), selalu terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏)‖ < 𝛿 maka |f(x, y) − L| < 𝜀. Dalam simbol:

(∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0) ∋ 0 < ‖(𝑥, 𝑦) − (𝑎, 𝑏)‖ < 𝛿 → |f(x, y) − L| < 𝜀

Catatan:

Jika jalur pendekatan yang berlainan memberikan nilai limit yang berbeda maka limitnya tidak ada.

Untuk menunjukkan limit fungsi dua variabel ada di titik (a,b) sangatlah sulit karena harus menunjukkan bahwa secara umum nilainya selalu sama untuk (x,y) menuju (a,b) dari semua arah. 

Namun untuk menunjukkan limitnya tidak ada, cukup dipilih dua jalur (x,y) menuju (a,b) yang berlainan yang menghasilkan nilai limit yang tidak sama.

2. Aspek Limit Dua Variabel

• Jalur pendekatan ke (a, b) tidak relevan. Ini berarti jika jalur pendekatan yang berbeda menghasilkan nilai L yang berbeda, maka limitnya tidak ada.

Ketika kita ingin mencari limit suatu fungsi di suatu titik, kita mengamati nilai fungsi saat titik yang kita perhatikan mendekati titik tersebut. Jika kita mendekati titik tersebut dari arah yang berbeda (jalur yang berbeda), dan nilai fungsi mendekati nilai yang berbeda pula, maka kita katakan limitnya tidak ada. Artinya, nilai fungsi tidak mendekati satu nilai yang pasti saat kita mendekati titik tersebut.

• Perilaku f(x, y) pada (a, b) tidak relevan; fungsinya bahkan tidak harus terdefinisi pada (a, b). Ini mengikuti dari batasan 0 < ‖(x, y) − (a, b)‖.

Untuk mencari limit, kita tidak perlu melihat nilai fungsi tepat di titik yang ingin kita cari limitnya. Yang penting adalah nilai fungsi di sekitar titik tersebut. Syarat 0 < ‖(x, y) − (a, b)‖ memastikan bahwa kita hanya mempertimbangkan nilai fungsi di sekitar titik (a, b), tetapi tidak tepat di titik (a, b) itu sendiri.

• Definisi ini diungkapkan sedemikian rupa sehingga dapat langsung diperluas ke fungsi dengan tiga (atau lebih) variabel. Cukup ganti (x, y) dan (a, b) dengan (x, y, z) dan (a, b, c) di mana pun mereka muncul.

Definisi limit yang diberikan dapat dengan mudah diterapkan untuk fungsi dengan lebih dari dua variabel. Kita hanya perlu mengganti variabel-variabelnya dengan variabel yang sesuai.

Definisi limit untuk fungsi multivariabel menekankan pada konsep pendekatan dari berbagai arah. Jika nilai fungsi tidak konsisten saat kita mendekati titik dari arah yang berbeda, maka limitnya tidak ada. Konsep ini sangat penting dalam memahami perilaku fungsi di sekitar suatu titik dalam ruang multidimensi.

3. Kasus Khusus untuk Limit Fungsi Polinomial dan Fungsi Rasional

Polinomial dalam variabel x dan y adalah jumlah dari suku-suku dalam bentuk:

dengan c bilangan real; i dan j bilangan cacah.

Fungsi rasional dalam variabel x dan y adalah fungsi dengan bentuk:

dengan p dan q polinomial dan q bukan fungsi nol.

Keistimewaan fungsi polinomial:

Jika f fungsi polinomial, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi langsung.

Keistimewaan fungsi rasional:

Jika f fungsi rasional dalam bentuk f(x, y) = p(x, y)/q(x, y) dengan p dan q polinomial, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi langsung asalkan nilai q taknol.

Lebih lanjut jika pembilangnya taknol dan penyebutnya bernilai nol, maka limitnya tidak ada.

4. Limit Koordinat Polar

Seringkali akan membantu menghitung limit jika kita merubahnya ke dalam koordinat polar, terutama untuk limit pada titik O. Perlu dicatat bahwa (x, y) menuju (0, 0) jika dan hanya jika r menuju 0. Jadi, limit fungsi dua variabel dapat diekspresikan sebagai limit satu variabel r.

contoh:

1. Tentukan limit berikut menggunakan koordinat polar:

ubah ke koordinat polar:

Jadi, limitnya adalah 0.

2. Tentukan limit berikut menggunakan koordinat polar:

ubah ke koordinat polar:

hasil akhir limitnya adalah cos(⁡𝜃).sin(⁡𝜃), yang mana nilai limitnya tergantung 𝜃, padahal nilai 𝜃 bisa berapapun dan mengakibatkan nilainya tidak tunggal, sehingga limitnya tidak ada.

5. Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Untuk mengatakan bahwa fungsi f(x, y) kontinu di titik (a, b), kita memerlukan tiga syarat berikut:

1. f memiliki nilai di (a, b): Artinya, fungsi f terdefinisi di titik (a, b).

2. f memiliki limit di (a, b): Artinya, ketika (x, y) mendekati (a, b), nilai f(x, y) mendekati suatu nilai tertentu.

3. Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya: Artinya, nilai fungsi di titik (a, b) sama dengan nilai yang didekati oleh fungsi tersebut ketika kita mendekati titik (a, b).

Ini pada dasarnya adalah persyaratan yang sama untuk kontinuitas fungsi satu variabel. Secara visual, ini berarti bahwa fungsi f tidak memiliki lompatan, fluktuasi liar, atau perilaku tak terbatas di titik (a, b).

Fungsi polinomial kontinu untuk semua (x, y) dan bahwa fungsi rasional kontinu di mana-mana kecuali di mana penyebutnya sama dengan 0. Lebih lanjut, jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi kontinu adalah kontinu (dengan syarat, dalam kasus terakhir, kita menghindari pembagian oleh 0).

6. Kekontinuan Fungsi Komposisi

Jika fungsi g kontinu pada (a, b) dan f kontinu pada g(a, b), maka fungsi komposisi (f ∘ g)(a, b) kontinu di (a, b).

7. Kekontinuan pada Suatu Himpunan

Untuk mengatakan bahwa fungsi f(x, y) kontinu pada suatu himpunan S, artinya f(x, y) kontinu di setiap titik dalam himpunan tersebut. Meskipun begitu, ada beberapa nuansa yang perlu diperjelas terkait pernyataan ini.

Pertama, kita perlu memperkenalkan beberapa istilah yang berkaitan dengan himpunan dalam bidang (dan ruang berdimensi lebih tinggi). Dengan lingkungan (pertetanggaan) berjari-jari δ dari suatu titik P, yang kita maksud adalah himpunan semua titik Q yang memenuhi jarak antara Q dan P kurang dari δ. 

Dalam ruang dua dimensi, lingkungan adalah bagian "dalam" dari sebuah lingkaran; dalam ruang tiga dimensi, itu adalah bagian dalam sebuah bola.

Sebuah titik P adalah titik dalam dari suatu himpunan S jika terdapat sebuah lingkungan dari P yang seluruhnya terkandung dalam S. Himpunan dari semua titik dalam S disebut interior dari S. Di sisi lain, P adalah titik batas dari S jika setiap lingkungan dari P mengandung titik-titik yang ada di dalam S dan titik-titik yang ada di luar S. Himpunan dari semua titik batas S disebut batas dari S. Perhatikan gambar berikut:

A adalah titik dalam dan B adalah titik batas dari S. Suatu himpunan dikatakan terbuka jika semua titiknya adalah titik dalam, dan dikatakan tertutup jika ia mengandung semua titik batasnya. Ada kemungkinan bagi suatu himpunan untuk tidak terbuka maupun tertutup. Hal ini menjelaskan penggunaan "interval terbuka" dan "interval tertutup" dalam ruang satu dimensi. Terakhir, suatu himpunan S dikatakan terbatas jika terdapat R > 0 sedemikian sehingga semua pasangan terurut dalam S berada di dalam lingkaran berjari-jari R yang berpusat di titik asal.

Jika S adalah himpunan terbuka, mengatakan bahwa f kontinu pada S berarti f kontinu di setiap titik dalam S. Di sisi lain, jika S mengandung beberapa atau semua titik batasnya, kita harus berhati-hati dalam memberikan interpretasi yang tepat mengenai kontinuitas pada titik-titik tersebut (ingatlah bahwa dalam ruang satu dimensi, kita harus membicarakan kontinuitas kiri dan kanan pada titik ujung interval).

Untuk mengatakan bahwa f kontinu pada titik batas P dari S berarti nilai f(Q) harus mendekati f(P) ketika Q mendekati P melalui titik-titik dalam S.

Jika S adalah himpunan tertutup, maka fungsi f(x, y) dikatakan kontinu pada S jika f(x, y) kontinu pada bagian dalam S dan juga kontinu pada batas S.

Berikut rangkuman untuk poin ini:

(i) Lingkungan δ dari suatu titik P: adalah himpunan dari semua titik Q yang memenuhi jarak antara Q dan P kurang dari δ. Dengan kata lain, lingkungan suatu titik adalah daerah di sekitar titik tersebut.

(ii) Titik dalam: Suatu titik P dikatakan titik dalam dari himpunan S jika terdapat suatu lingkungan dari P yang seluruhnya terkandung dalam S. Artinya, jika kita ambil daerah yang cukup kecil di sekitar titik P, maka seluruh daerah tersebut masih berada di dalam himpunan S.

(iii) Bagian dalam: Himpunan semua titik dalam dari himpunan S disebut bagian dalam dari S. Ini adalah kumpulan dari semua titik yang benar-benar "di dalam" himpunan S.

(iv) Titik batas: Suatu titik P dikatakan titik batas dari himpunan S jika setiap lingkungan dari P selalu mengandung baik titik yang termasuk dalam S maupun titik yang tidak termasuk dalam S. Artinya, titik batas adalah titik yang "berada di perbatasan" antara himpunan S dan bukan S.

(v) Batas: Himpunan semua titik batas dari suatu himpunan S disebut batas dari S. Ini adalah kumpulan dari semua titik yang memisahkan antara bagian dalam dan bagian luar dari himpunan S.

(vi) Himpunan terbuka: Suatu himpunan dikatakan terbuka jika semua titiknya adalah titik dalam. Artinya, untuk setiap titik dalam himpunan terbuka, kita selalu dapat menemukan sebuah lingkungan yang sepenuhnya terkandung dalam himpunan tersebut.

(vii) Himpunan tertutup: Suatu himpunan dikatakan tertutup jika ia memuat semua titik batasnya. Artinya, tidak ada titik batas dari himpunan yang "keluar" dari himpunan tersebut.

Contoh:

Misal diberikan fungsi f(x, y) sebagai berikut:

dan misalkan S adalah himpunan {(x, y): x² + y² ≤ 1}. Pada himpunan S, fungsi f selalu kontinu, tetapi tidak kontinu pada bidang XOY.

Grafik dari fungsi ini, bayangkan ada triplek yang sangat besar, digergaji bagian tengahnya sehingga membentuk lingkaran, lalu jatuh ke bidang XOY.

8. Kesamaan Turunan Parsial Campuran

Jika f_xy dan f_yx kontinu pada suatu himpunan terbuka S, maka f_xy = f_yx pada setiap titik di S.

Penjelasan:

Pernyataan ini menyatakan bahwa jika kita memiliki suatu fungsi f yang memiliki turunan parsial kedua terhadap x dan y (yaitu f_xy dan f_yx), dan jika kedua turunan parsial ini kontinu pada suatu daerah yang disebut himpunan terbuka S, maka urutan kita mengambil turunan tidak akan memengaruhi hasilnya.

Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung turunan parsial campuran dengan urutan yang berbeda tanpa khawatir akan mendapatkan hasil yang berbeda. Ini menyederhanakan banyak perhitungan dan membuktikan berbagai sifat penting dari fungsi-fungsi multivariabel.