Integral Atas Persegi Panjang

1. Recall Integral Riemann

Ingat kembali integral Riemann, misal f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Integral Riemann dari a ke b diberikan oleh:

Jika limitnya ada, kita katakan f terintegralkan pada [a, b]. Integral Riemann ini disebut juga integral tentu.

2. Perluasan

• Misalkan R adalah sebuah persegi panjang.

Persegi panjang ini terletak pada bidang koordinat (bidang datar yang memiliki sumbu x dan sumbu y).

Sisi-sisi persegi panjang ini sejajar dengan sumbu x dan sumbu y.

• Definisi Matematis Persegi Panjang R:

R = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Artinya, semua titik (x, y) yang memenuhi syarat:

Nilai x harus lebih besar sama dengan a dan lebih kecil sama dengan b.

Nilai y harus lebih besar sama dengan c dan lebih kecil sama dengan d.

Dengan kata lain, persegi panjang R dibatasi oleh garis-garis vertikal x = a, x = b, dan garis-garis horisontal y = c, y = d.

• Membagi Persegi Panjang R:

Persegi panjang R dibagi menjadi beberapa persegi panjang yang lebih kecil.

Jumlah persegi panjang kecil ini adalah n.

Setiap persegi panjang kecil diberi label R_k, di mana k adalah bilangan bulat dari 1 sampai n.

• Karakteristik Persegi Panjang Kecil:

Setiap persegi panjang kecil memiliki panjang sisi Δx_k dan Δy_k.

Luas setiap persegi panjang kecil adalah ΔA_k = Δx_k.Δy_k.

• Titik Sampel:

Pada setiap persegi panjang kecil, kita ambil sembarang titik.

Titik ini disebut titik sampel dan diberi label (x̄_k, ȳ_k).

Jumlah Riemann dari f atas persegi panjang R adalah:

Berikut ilustrasinya:

Tafsiran geometris dari jumlah Riemann yang diperluas ini adalah jumlah volume balok, yang mana semakin banyak balok yang dibuat semakin mendekati volume sebenarnya dari volume ruang dibawah permukaan z = f(x, y) diatas persegi panjang R.

3. Integral Rangkap

Kita simbolkan norm partisi, yaitu diagonal terpanjang dari semua persegi panjang kecil dari R, dengan |P|.

Misal f fungsi dua variabel yang terdefinisi pada persegi panjang R. Jika limit

ada, dikatakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut, integral rangkap f pada R diberikan oleh

Perhatikan gambar berikut:

Tafsiran geometris integral Riemann untuk f(x, y) ≥ 0 adalah volume benda pejal dibawah permukaan z = f(x, y) diatas persegi panjang R.

4. Integrabilitas

Tidak semua fungsi dua variabel dapat diintegralkan, sebagaimana tidak semua fungsi satu variabel dapat diintegralkan.

• Jika f tidak terbatas di R, maka f tidak dapat diintegralkan di R. Kontraposisinya adalah jika f dapat diintegralkan di R, maka f terbatas di R.

• Jika f terbatas di R dan f kontinu di R kecuali di berhingga kurva mulus maka f dapat diintegralkan di R.

• Lebih khusus, jika f kontinu di R maka f dapat diintegralkan di R.

Contoh:

Fungsi polinom dapat diintegralkan dimana-mana karena kontinu dimana-mana.

Fungsi tangga dapat diintegralkan karena terbatas dan ketidakkontinuannya berhingga.

Fungsi rasional tidak dapat diintegralkan di persegi yang melalui kurva dimana penyebutnya nol.

5. Sifat-Sifat Integral Lipat Dua

A. Sifat Linear Perkalian Skalar

B. Sifat Linear Penjumlahan (dan pengurangan)

C. Sifat Aditif

Misal R₁ dan R₂ hanya beririsan di satu segmen garis, dan R gabungan dari R₁ dan R₂, berlaku sifat aditif:

D. Sifat Pembandingan
Jika f(x, y) ≤ g(x, y) untuk setiap (x, y) di R, maka

6. Integrasi Berulang

R = {(x, y): a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Misal diberikan suatu benda pejal diantara permukaan z = f(x, y) dan persegi panjang R. Untuk menentukan volumenya kita bisa dengan memotong benda pejal menjadi lempengan tipis dengan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang XOZ. 

Luas permukaan lempengan ini bergantung pada seberapa jauh dari bidang XOZ; yaitu, bergantung pada y. Oleh karena itu, kita nyatakan luas ini dengan A(y).

Volume ΔV dari lempengan diberikan kira-kira oleh ΔV ≈ A(y).Δy

Kita telah mengambil potongan dan mengaproksimasinya, selanjutnya integralkan.

Kita boleh juga memulainya dari potongan x, sehingga dapat ditentukan volumenya

Selanjutnya integral lipat biasa ditulis tanpa tanda kurung

7. Integral Bertanda

Perhatikan gambar berikut:

Misal nilai fungsi f di persegi panjang R bisa negatif. Hasil integral positif untuk nilai f positif dan hasilnya negatif untuk nilai f negatif.

Jika f(x, y) negatif pada bagian dari persegi panjang R pada bidang XOY, integral dari daerah yang dibatasi permukaan dan R adalah jumlah bertanda dari volume

Sedangkan volume aktual dari benda pejal ini adalah

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan integral dari f(x, y) = x.sin(y) pada persegi panjang R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π}

2. Tentukan volume benda pejal yang terletak di oktan I yang ditutupi oleh permukaan z = 4 – x² dan y = 2
• Karena terletak di oktan I, batas bawah untuk x dan y masing-masing 0

• Karena oktan I, diharuskan z = 4 – x² > 0 ↔ x² < 4 ↔ x < 2, jadi batas atas untuk x adalah 2

• Diberikan batas atas untuk y adalah 2

3. Tentukan volume benda pejal dibawah z = 1 + x² + y² pada persegi panjang R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}