Pengali Lagrange (KPB)

Kita mulai dengan membedakan dua jenis masalah. Mencari nilai minimum dari x² + 2y² + z⁴ + 4 adalah masalah ekstrem bebas. Namun, mencari nilai minimum dari x² + 2y² + z⁴ + 4 dengan syarat tambahan x + 3y – z = 7 adalah masalah ekstrem terkendala. Banyak masalah di dunia nyata, terutama dalam ekonomi, termasuk dalam jenis yang terakhir. Misalnya, seorang produsen mungkin ingin memaksimalkan keuntungan, tetapi dibatasi oleh ketersediaan bahan baku, jumlah tenaga kerja, dan sebagainya.

Termasuk masalah ekstrem terkendala ketika kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan z² = x²y + 4 ke titik O. Kita merumuskan masalah ini sebagai meminimalkan d² = x² + y² + z² dengan syarat z² = x²y + 4. Kita menyelesaikan masalah ini dengan mensubstitusikan nilai z² dari syarat ke dalam persamaan d² dan kemudian menyelesaikan masalah ekstrem bebas yang dihasilkan (yaitu, tanpa syarat). Namun, seringkali persamaan syarat tidak mudah diselesaikan untuk salah satu variabel atau syarat tidak dapat diparameterisasi dalam satu variabel. Bahkan ketika salah satu teknik ini dapat diterapkan, metode lain mungkin lebih sederhana; yaitu, metode pengali Lagrange.

Metode Langrange digunakan untuk optimasi fungsi dengan kendala kesamaan:

Min 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) atau Max 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan kendala 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘, dengan 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah variabel dan 𝑘 konstanta.

Berikut diberikan langkah-langkah optimasi fungsi dengan menggunakan metode Lagrange:

(i) Selesaikan persamaan berikut:

∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘,

dengan 𝜆 disebut pengali Lagrange (Lagrange multiplier)

(ii) Masukkan semua solusi yang diperoleh dari langkah (i) ke 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan identifikasi nilai minimum dan maksimum.

Contoh

1. Tentukan nilai ekstrim (minimum dan maksimum) dari fungsi f(x, y) = x² + 2y² dengan kendala x² + y² = 1.

Kita akan menggunakan metode pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah ini. Metode ini melibatkan penyelesaian sistem persamaan berikut:

∇f = λ∇g

g(x, y) = 0

Di mana ∇f adalah gradien dari fungsi f, ∇g adalah gradien dari fungsi g, λ adalah pengali Lagrange

Dengan menghitung gradien dari f dan g, kita dapatkan sistem persamaan berikut:

2x = λ(2x)  (i)

4y = λ(2y)  (ii)

x² + y² = 1  (iii)

Dari (i) diperoleh 2𝑥(1 − 𝜆) = 0 sehingga 𝑥 = 0 atau 𝜆 = 1.

• Untuk 𝑥 = 0, dari (iii) diperoleh 𝑦 = ±1

• Untuk 𝜆 = 1, dari (ii) diperoleh 4𝑦 = 2𝑦 sehingga 𝑦 = 0, selanjutnya dari (iii) diperoleh 𝑥 = ±1.

Jadi 𝑓 mempunyai 4 kemungkinan nilai ekstrim di titik (0, 1), (0, −1), (1, 0), (−1, 0)

Nilai fungsi di masing-masing titik adalah

𝑓(0, 1) = 2

𝑓(0, −1) = 2

𝑓(1, 0) = 1

𝑓(−1, 0) = 1

Jadi, nilai maksimum dari 𝑓 dengan kendala x² + y² = 1 adalah 2 dan nilai minimum 1.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x, y) = y² − x² pada ellips x²/4 + y² = 1

∇f(x, y) = −2xi + 2yj

Dapat dituliskan g(x, y) = x² + 4y² − 4 = 0

∇g(x, y) = 2xi + 8yj

Diperoleh persamaan Lagrange

−2x = 𝜆2x (i)

2y = 𝜆8y (ii)

x² + 4y² = 4 (iii)

Perhatikan dari persamaan (iii) bahwa x dan y tidak dapat sama-sama nol. Jika x ≠ 0, maka persamaan pertama menyiratkan bahwa λ = −1, dan persamaan kedua kemudian mensyaratkan bahwa y = 0. Kita simpulkan dari persamaan ketiga bahwa x = ±2. Dengan demikian kita telah memperoleh titik-titik kritis (±2, 0).

Dengan argumen yang sama persis, jika y ≠ 0, maka λ = ¼ dari persamaan kedua, kemudian x = 0 dari persamaan pertama, dan akhirnya y = ±1 dari persamaan ketiga. Kita simpulkan bahwa (0, ±1) juga merupakan titik-titik kritis.

Sekarang, untuk f(x, y) = y² − x²,

f(2, 0) = −4

f(-2, 0) = −4

f(0, 1) = 1

f(0, −1) = 1

Nilai minimum dari f(x, y) pada elips yang diberikan adalah −4; nilai maksimumnya adalah 1.