Integral Lipat pada Koordinat Polar

1. Sistem Koordinat Polar

Kita mulai dengan sebuah garis yang disebut sumbu polar. Garis ini memancar keluar dari sebuah titik tetap yang disebut kutub atau titik asal. Biasanya, sumbu polar ini kita letakkan secara horizontal ke arah kanan.

Setiap titik di bidang (kecuali kutub) dapat kita tentukan posisinya dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar ini terdiri dari dua nilai:

• Jari-jari (r): Jarak antara titik tersebut dengan kutub.

• Sudut (θ): Sudut yang dibentuk antara garis yang menghubungkan titik dengan kutub dan sumbu polar. Sudut ini biasanya diukur dalam radian, mulai dari sumbu polar positif (arah kanan) berlawanan arah jarum jam.

Jadi, koordinat polar dari suatu titik P dapat ditulis sebagai (r, θ).

• Setiap titik memenuhi tak berhingga banyaknya koordinat polar, bersesuaian dengan fakta bahwa sudut-sudut θ + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, ... memiliki kaki sudut yang sama.

• r boleh negatif. Dalam kasus ini (r, θ) terletak pada arah yang berlawanan dengan θ dan |r| satuan dengan titik asal.

2. Titik Potong Dua Kurva dalam Persamaan Polar

Dalam koordinat polar tidak selalu semua titik potong dua kurva bisa ditemukan dengan menyelesaikan persamaan secara simultan.

Sebagai contoh dua persamaan r = 4.cos(θ) dan θ = π/3. Dengan menyelesaikan persamaan secara simultan di temukan titik potong (2, π/3), tapi ternyata titik potongnya bukan hanya itu, masih ada lagi.

Contoh lainnya adalah dua persamaan r = 1 + cos(θ) dan r = 1 – sin(θ). Dengan menyelesaikan persamaan secara simultan:

1 + cos(θ) = 1 – sin(θ)

cos(θ) = –sin(θ)

cot(θ) = –1

θ = 3π/4, r = 1 – ½√2 ∨ θ = 7π/4, r = 1 + ½√2

secara simultan, diperoleh dua titik potong (1 – ½√2, 3π/4) dan (1 + ½√2, 7π/4).

3. Integral Lipat pada Persegi Panjang Polar

Misalkan R memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada gambar, yang kita sebut sebagai persegi panjang polar dan akan kita deskripsikan secara analitik.

Misalkan z = f(x, y) menentukan sebuah permukaan di atas R dan misalkan f kontinu dan non-negatif. Maka volume V dari benda padat di bawah permukaan ini dan di atas R diberikan oleh:

Dalam koordinat polar, persegi panjang polar R memiliki bentuk:

R = {(r, θ): a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

di mana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π. Selain itu, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai:

z = f(x, y) = f(r.cos θ, r.sin θ) = F(r, θ)

Kita akan menghitung volume V dengan menggunakan koordinat polar. Kita bagi R menjadi persegi panjang polar yang lebih kecil, R₁, R₂, ..., Rₙ, dengan menggunakan garis polar, dan misalkan Δrₖ dan Δθₖ menyatakan dimensi dari potongan tipikal Rₖ.

Luas A(Rₖ) yang merupakan persegi panjang polar, adalah selisih luas dua juring, yaitu

A(Rₖ) = r̅ₖ Δrₖ Δθₖ

di mana r̅ₖ adalah jari-jari rata-rata dari Rₖ. Dengan demikian,

Ketika kita mengambil limit ketika norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan volume sebenarnya. Limit ini adalah integral lipat:

Contoh:

Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan z = cos(θ/4) diatas persegi panjang polar R = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}.

volumenya adalah 4√2 satuan.

4. Integral Lipat Polar Bukan Persegi Panjang

Ingat bagaimana kita memperluas integral lipat pada sebuah persegi panjang biasa R ke integral pada suatu himpunan umum S. Kita cukup melingkupi S dalam sebuah persegi panjang dan memberikan nilai nol pada fungsi yang diintegralkan di luar S. Kita dapat melakukan hal yang sama untuk integral ganda dalam koordinat polar, kecuali kita menggunakan persegi panjang polar daripada persegi panjang biasa. Dengan mengabaikan detailnya, kita hanya menyatakan bahwa hasil yang sudah dinyatakan sebelumnya berlaku untuk himpunan umum S.

Yang menjadi perhatian khusus dalam integrasi polar adalah apa yang kita sebut himpunan r-sederhana dan θ-sederhana. Kita sebut himpunan S sebagai himpunan r-sederhana jika memiliki bentuk:

S = {(r, θ): 𝜙₁(θ) ≤ r ≤ 𝜙₂(θ), α ≤ θ ≤ β}

dan kita sebut himpunan θ-sederhana jika memiliki bentuk:

S = {(r, θ): a ≤ r ≤ b, ψ₁(r) ≤ θ ≤ ψ₂(r)}

Contoh:

1. Tentukan volume benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder x² + y² = 2y dan permukaan z = x² + y².

x² + y² = 2y dalam bentuk polar menjadi r² = 2r.sin(θ) ↔ r = 2.sin(θ)

S = {(r, θ): 0 ≤ r ≤ 2.sin(θ), 0 ≤ θ ≤ π/2}

F(r, θ) = z = x² + y² = r²

Jadi, volumenya adalah 3π/4.

2. Misal S adalah daerah yang lebih kecil yang dibatasi oleh θ = π/6 dan r = 4.sin(θ). Hitung luas daerah S.

Untuk menentukan luas daerah, asumsikan F(r, θ) = 1, sehingga volume benda pejal yang terbentuk sama dengan luas daerah integrasi, karena tingginya 1 (anggap sebagai prisma).