Invers dari Transformasi Linear Umum

1. Transformasi Linear Satu ke Satu

Transformasi linear T: V → W dikatakan satu-satu jika T memetakan vektor-vektor yang berbeda di V menjadi vektor-vektor yang berbeda di W.

2. Transformasi Linear Tertentu

A. Transformasi matriks

Ingat kembali bahwa jika A adalah matriks n × n dan T: Rn → Rn adalah perkalian dengan A, maka T adalah satu-satu jika dan hanya jika A adalah matriks yang dapat dibalik.

B. Transformasi penambahan pangkat polinom

Misalkan T: Pₙ → Pₙ₊₁ adalah transformasi linear. Transformasi ini didefinisikan sebagai T(p(x)) = x.p(x).

Jika p(x) = c₀ + c₁x + ... + cₙxⁿ dan q(x) = d₀ + d₁x + ... + dₙxⁿ adalah dua polinomial yang berbeda, maka setidaknya ada satu koefisien yang berbeda di antara keduanya. Dengan demikian,

T(p(x)) = c₀x + c₁x² + ... + cₙxⁿ⁺¹ dan T(q(x)) = d₀x + d₁x² + ... + dₙxⁿ⁺¹

juga memiliki setidaknya satu koefisien yang berbeda. Oleh karena itu, T adalah transformasi satu-satu, karena memetakan polinomial berbeda p dan q ke polinomial berbeda T(p) dan T(q).

C. Diferensiasi

Misalkan D: C¹(−∞, ∞) → F(−∞, ∞) adalah transformasi diferensial. Transformasi linear ini bukan merupakan transformasi satu-satu karena ia memetakan fungsi-fungsi yang berbeda hanya pada konstanta menjadi fungsi yang sama. Sebagai contoh,

D(x²) = D(x² + 1) = 2x

3. Pernyataan Ekivalen dengan Transformasi Linear Satu ke Satu

Jika T: V → W adalah suatu transformasi linear, maka pernyataan berikut ini ekuivalen:

(a) T adalah satu-satu.

(b) Kernel dari T hanya mengandung vektor nol; dengan kata lain, ker(T) = {0}.

(c) Nullitas dari T sama dengan 0.

Poin (b) dan poin (c) jelas ekivalen sebagaimana pada pembahasan tentang kernel.

Ekivalensi poin (a) dan (b) dapat dijelaskan. Misal T satu-satu, setiap vektor yang berbeda di V akan menghasilkan bayangan yang berbeda di W, sehingga satu-satunya anggota kernel dari T adalah 0. Sebaliknya, misalkan satu-satunya anggota kernel dari T adalah 0, dan terdapat sebarang dua vektor v dan w yang berbeda di V, tentunya selisihnya bukan vektor nol. Ketika T dikenakan pada selisihnya, bayangannya sama dengan selisih T(v) dengan T(w), yang tentunya bukan vektor nol, sehingga dipastikan bayangannya berbeda. Dengan kata lain, T satu ke satu.

4. Pernyataan Ekivalen dengan Operator Linear Satu ke Satu

Jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga, dan T: V → V adalah suatu operator linear, maka pernyataan berikut ini ekuivalen:

(a) T adalah satu-satu.

(b) Kernel dari T hanya mengandung vektor nol; dengan kata lain, ker(T) = {0}.

(c) Nullitas dari T sama dengan 0.

(d) Range dari T adalah V; dengan kata lain, R(T) = V.

5. Invers dari Transformasi Linear

Invers dari suatu operator matriks satu-satu T_A: ℝⁿ → ℝⁿ sebagai T_A⁻¹: ℝⁿ → ℝⁿ, dan kita telah menunjukkan bahwa jika w adalah bayangan dari suatu vektor x di bawah T_A, maka T_A⁻¹ memetakan w kembali ke x. Sekarang, kita akan memperluas ide-ide ini ke transformasi linear umum.

Ingat kembali bahwa jika T: V → W adalah suatu transformasi linear, maka range dari T, yang dinotasikan dengan R(T), adalah subruang dari W yang terdiri dari semua bayangan di bawah T dari vektor-vektor di V. Jika T adalah satu-satu, maka setiap vektor w di R(T) adalah bayangan dari satu-satunya vektor v di V. Keunikan ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan sebuah fungsi baru, yang disebut invers dari T dan dinotasikan dengan T⁻¹, yang memetakan w kembali ke v.

T⁻¹: R(T) → V adalah suatu transformasi linear. Lebih lanjut, menurut definisi T⁻¹:

T⁻¹(T(v)) = T⁻¹(w) = v 

T(T⁻¹(w)) = T(v) = w 

sehingga T dan T⁻¹, ketika diterapkan secara berurutan dalam urutan apapun, saling meniadakan efek satu sama lain.

Catatan: Penting untuk diperhatikan bahwa jika T: V → W adalah transformasi linear satu-satu, maka domain dari T⁻¹ adalah range dari T. Range ini mungkin iya atau mungkin tidak mencakup seluruh ruang W. Namun, dalam kasus khusus di mana T: V → V adalah operator linear satu-satu, maka R(T) = V, artinya domain dari T⁻¹ adalah seluruh ruang V.

6. Invers dari Penambahan Pangkat Polinom

Ingat kembali bahwa transformasi linear T: Pₙ → Pₙ₊₁ yang didefinisikan oleh

T(p(x)) = x.p(x)

adalah satu-satu; dengan demikian, T memiliki invers. Di sini, range dari T bukan seluruh Pₙ₊₁, melainkan R(T) adalah subruang dari Pₙ₊₁ yang terdiri dari polinomial-polinomial dengan koefisien konstanta nol. Hal ini jelas dari rumus untuk T:

T(c₀ + c₁x + ... + cₙxⁿ) = c₀x + c₁x² + ... + cₙxⁿ⁺¹

Dari sini, kita dapatkan bahwa invers dari T, yaitu T⁻¹: R(T) → Pₙ, diberikan oleh rumus

T⁻¹(c₀x + c₁x² + ... + cₙxⁿ⁺¹) = c₀ + c₁x + ... + cₙxⁿ

7. Komposisi Transformasi Linear

Jika T₁: U → V dan T₂: V → W adalah transformasi linear satu-satu, maka:

(a) T₂ ∘ T₁ juga merupakan transformasi linear satu-satu.

(b) (T₂ ∘ T₁)⁻¹ = T₁⁻¹ ∘ T₂⁻¹.

Poin (b) dapat diperluas menjadi (T₃ ∘ T₂ ∘ T₁)⁻¹ = T₁⁻¹ ∘ T₂⁻¹ ∘ T₃⁻¹, dan seterusnya. Secara umum, invers dari komposisi transformasi linear sama dengan komposisi dari invers masing-masing transformasi, dengan urutan yang dibalik.

8. Dimensi Domain dan Kodomain

Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi hingga dengan dim(W) < dim(V), dan jika T: V → W adalah transformasi linear, maka T tidak mungkin satu-satu. Dengan kata lain, dimensi kodomain W harus setidaknya sama besar dengan dimensi domain V agar ada transformasi linear satu-satu dari V ke W. Misalnya, tidak ada transformasi linear satu-satu dari ruang R³ ke bidang R², juga tidak ada transformasi linear dari bidang R² ke garis R.

Meskipun dim(W) ≥ dim(V), suatu transformasi linear dari V ke W belum tentu satu-satu, seperti yang ditunjukkan oleh transformasi nol.