Sixty Four Science

1. Ring Polinomial atas Field A . Sifat Bawaan Field ke Ring Polinomial Misal F field, maka F ring komutatif dengan elemen satuan dan tanpa pembagi nol, sehingga F[x] merupakan ring komutatif dengan elemen satuan tanpa pembagi nol. Secara bawaan, ring polinomial atas field memiliki sifat berikut: • Komutatif • Memiliki elemen satuan • Tidak memiliki pembagi nol Oleh karena itu, F[x] merupakan daerah integral. B . Invers Perkalian Misal F field dan f(x) polinomial di F[x]. Pertimbangkan bahwa deg(1) = 0, karena 1 merupakan polinom konstan. Misal deg(f) = n. Dikarenakan F[x] tidak memiliki pembagi nol, berlaku deg(fg) = deg(f) + deg(g), sehingga agar g(x) merupakan invers untuk f(x) diharuskan: deg(g) = deg(1) – deg(f) = 0 – n = –n Pertimbangkan bahwa derajat polinom tidak boleh negatif, sehingga satu-satunya n yang dibolehkan adalah n = 0, sehingga f(x) merupakan polinom konstan, tentunya f(x) bukan polinom nol. Jadi, agar f(x) memiliki invers perkalian diharuskan f(x) pol...

1. Konsep Dasar Polinomial A . Bentuk Umum Polinomial adalah bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, konstanta, dan eksponen (pangkat). Bentuk umum suku banyak berderajat n adalah: f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀   dengan aₙ ≠ 0 Keterangan: n: Derajat polinom, sama dengan pangkat tertingginya. Dalam hal ini deg(f) = n. a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien polinom a₀: Konstanta Kasus Khusus: • Polinom yang hanya terdiri dari 1 suku disebut mononom. • Polinom yang hanya terdiri dari konstanta disebut polinom konstan. • Polinom yang koefisien pangkat tertingginya adalah 1 disebut polinom monik. • Polinom yang FPB dari semua koefisiennya adalah 1 disebut polinom primitif. B . Penjumlahan dan Pengurangan Menjumlahkan atau mengurangkan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama. Contoh: Diberikan p(x) = 6x³ − 8x² + 7x + 10 dan q(x) = 10x² + 11x − 13. Tentukan jumlah p(x) dan q(x). p(x) + q(x) = (6x³ − 8x² + 7x + 10...

1. Eksistensi Homomorfisma ke Ring Faktor Untuk setiap ring faktor R/S dari R, terdapat epimorfisma ring dari R ke R/S. Bukti: Misal S sebarang ideal dari R, kita dapat mendefinisikan fungsi f dari R ke R/S sebagai berikut: f(a) = a + S, perhatikan: • f mempertahankan penjumlahan dan perkalian Ambil sebarang a, b ∈ R. f(a + b) = (a + b) + S = (a + S) + (b + S) = f(a) + f(b) f(ab) = ab + S = (a + S)(b + S) = f(a)f(b) • f bersifat surjektif Ambil sebarang a + S ∈ R/S, dapat dipilih a ∈ R sehingga f(a) = a + S. Jadi, f merupakan homomorfisma ring yang bersifat surjektif (epimorfisma). 2. Teorema Isomorfisma Ring 1 Misal f homomorfisma ring dari R ke S, berlaku R/ker(f) ≅ f(R). Bukti: Misal f homomorfisma ring dari R ke S, ingat bahwa ker(f) merupakan ideal dari R dan f(R) subring dari S. Untuk memudahkan penulisan, kita misalkan ker(f) = I dan f(R) = R'. Misal didefinisikan fungsi ϕ : R/I → R' dengan ϕ(a + I) = f(a). • ϕ mempertahankan penjumlahan dan perkalian Ambil sebaran...

1. Konsep Awal A . Unit Misal R merupakan ring dengan elemen satuan. Elemen a ∈ R disebut unit jika  (∃b ∈ R) ∋ ab = ba = 1. B .  Fungsi Penilaian Euclid untuk Hasil Kali dengan Unit Misalkan R suatu ring Euklid dengan fungsi penilaian d dan a, b ∈ D\{0}; berlaku: d(a) = d(ab) jika dan hanya jika b unit. Bukti: • Jika b unit maka d(a) = d(ab) Misalkan b unit. Jadi, misalkan u ∈ R sehingga b·u = u·b = 1. Untuk setiap a ∈ R tak nol diperoleh a = a·1 = a·(b·u) = (a·b)·u Sehingga d(a·b) ≤ d((a·b)·u) = d(a) Selain itu jelas bahwa d(a) ≤ d(a·b) Jadi, dari kedua hal tersebut dapat disimpulkan bahwa d(a) = d(a·b) jika b suatu unit.  • Jika d(a) = d(ab) maka b unit Misal A ideal utama yang dibangun oleh a, diperoleh a, ab ∈ A (karena a ∈ A, b ∈ R, dan A ideal). Ingat bahwa R ring Euklid maka R ring ideal utama. Ingat juga bahwa setiap elemen c ∈ A dengan d(c) minimum merupakan pembangun A. Karena a pembangun A, d(a) minimum. Selain itu d(ab) = d(a) juga minimum, akibatnya ab ...

1. Definisi Ring Euclid Misalkan R ring komutatif tanpa pembagi nol. Ring R disebut Ring Euclid jika terdapat pemetaan d : R → ℕ ∪ {0} yang memenuhi sifat-sifat: • d(0) = 0. • (∀a, b ∈ R\{0}). d(a) ≤ d(ab) • (∀a, b ∈ R\{0})(∃q, r ∈ R) ∋ a = bq + r ∧ [r = 0 ∨ d(r) < d(b)] Fungsi d ini disebut fungsi penilaian Euclid. Contoh: Misal ring J[i] = {a + bi : a, b ∈ ℤ} ⊆ ℂ. Ring J[i] komutatif tanpa pembagi nol. Misal didefinisikan d : R → ℕ ∪ {0} dengan d(a + bi) = a² + b², perhatikan • d(0 + 0i) = 0 + 0 = 0 • Untuk sebarang c₁, c₂ ∈ J[i]\{0} dengan c₁ = a₁ + b₁i, c₂ = a₂ + b₂i; a₁² + b₁² ≥ 1 > 0; a₂² + b₂² ≥ 1 > 0 (ini benar karena kuadrat bilangan bulat taknol selalu lebih dari atau sama dengan 1). d(c₁) = d(a₁ + b₁i) = a₁² + b₁² ≥ 1 > 0. d(c₁c₂) = d[(a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i)] = d[(a₁a₂ – b₁b₂) + i(a₁b₂ + b₁a₂)] = (a₁a₂ – b₁b₂)² + (a₁b₂ + b₁a₂)² = a₁²a₂² + b₁²b₂² – 2a₁a₂b₁b₂ + a₁²b₂² + b₁²a₂² + 2...

1. Bahan Pembuatan Ring Lokalisasi A . Himpunan Tertutup Perkalian Misal diberikan R ring komutatif dengan S ⊆ R. Himpunan S disebut tertutup terhadap perkalian di R jika berlaku: (∀a, b ∈ S). ab ∈ S. B . Relasi Tidal Misal didefinisikan relasi “~” pada R × S dengan (a, s) ~ (a', s') ⇔ (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0, perhatikan: • Sifat Refleksif Diberikan sebarang (a, s) ∈ R × S, perhatikan bahwa untuk sebarang u ∈ S berlaku u(as – as) = u⋅0 = 0, ini berarti (a, s) ~ (a, s), sehingga relasi ~ bersifat refleksif. • Sifat Simetrik Diberikan sebarang (a, s), (a', s') ∈ R × S dengan (a, s) ~ (a', s'), berarti (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0 ⇔ uas' – ua' s = 0 ⇔ uas' = ua's ⇔ ua's – uas' = 0 ⇔ u(a's – as') = 0. Ini berarti dengan u yang sama berlaku u(a's – as') = 0, sehingga (a', s') ~ (a, s). Jadi, relasi ~ bersifat simetrik. • Sifat Transitif Diberikan sebarang (a₁, s₁), (a₂, s₂), (a₃, s₃) ∈ R × S dengan (a...

1. Penyisipan dan Field Kuosien A . Definisi Dapat Disisipkan Ring R dikatakan dapat disisipkan (can be imbedded) di dalam ring S jika terdapat monomorfisma (homomorfisma injektif) dari R ke S. Dalam kasus ini S disebut perluasan dari ring R. B . Field Kuosien Misalkan D adalah daerah integral. Field F dikatakan field kuosien dari daerah integral D jika F memuat D dan F termuat di dalam setiap field yang memuat D. Dengan kata lain, F merupakan field terkecil yang memuat D. Contoh paling familiar untuk field kuosien adalah bahwa field kuosien dari ℤ adalah ℚ. Field kuosien untuk field F adalah F itu sendiri dan field lain yang isomorfik dengannya. 2. Pembentukan Field Kuosien A . Relasi Tidal Misal D daerah integral, misal dibentuk himpunan D × D\{0} = {(a, b) : a, b ∈ D; b ≠ 0}. Misal didefinisikan relasi "~" di dalam D × D\{0} sebagai berikut: (a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc Perhatikan: • Relasi ~ bersifat refleksif (a, b) ~ (a, b) karena ab = ba, dimana perkalian di...

1. Koset A . Koset Misal I ideal dari R dan r ∈ R, misal didefinisikan himpunan r + I = {r + i : r ∈ R, i ∈ I} himpunan ini disebut koset kiri dari I. Karena operasi penjumlahan bersifat komutatif, koset kiri dan koset kanan merupakan himpunan yang sama, yaitu r + I = I + r. B . Penjumlahan Koset Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan penjumlahan anggota koset: (r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh (r₁ + i₁) + (r₂ + i₂) = (r₁ + r₂) + (i₁ + i₂), karena I ring, (i₁ + i₂) ∈ I, diperoleh (r₁ + I) + (r₂ + I) = (r₁ + r₂) + I C . Perkalian Koset Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan perkalian anggota koset: (r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh (r₁ + i₁)(r₂ + i₂) = r₁r₂ + (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂), karena I ideal, (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂) ∈ I, diperoleh (r₁ + I)(r₂ + I) = r₁r₂ + I 2. Pembentukan Ring Faktor Misal R ring dan I ideal dari R, dibentuk himpunan R/I yaitu himpunan semua koset dari I....

Halo Sixtyfourians! Di postingan sebelumnya, kita sudah membahas tuntas bagaimana cara meminimalkan biaya menggunakan Metode Hungaria. Tapi, bagaimana jika bos kalian datang dan bertanya: "Saya tidak mau sekadar hemat biaya, saya ingin KEUNTUNGAN MAKSIMAL! Bagaimana cara membagi tugasnya?" Jangan panik! Meskipun Metode Hungaria aslinya dirancang untuk minimasi (mencari nilai nol/terkecil), metode ini bisa digunakan untuk kasus maksimasi dengan satu langkah modifikasi sederhana di awal. Yuk, kita bedah caranya! Konsep Dasar: Mengubah Maksimasi Menjadi Minimasi Prinsip utama Metode Hungaria adalah mereduksi matriks untuk mencari opportunity cost nol. Karena metodenya "alergi" dengan angka besar dan mencari angka kecil, kita harus memanipulasi data keuntungan tersebut. Caranya adalah dengan mengubah Matriks Keuntungan (Profit) menjadi Matriks Penyesalan (Regret/Opportunity Loss). Rumusnya adalah: Nilai Baru = Nilai Maksimum Tabel – Nilai Awal Sel Artinya, jika kita men...