Penggunaan Integral Lipat Dua

1. Titik Berat / Pusat Massa

Ingat kembali bahwa Momen adalah hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu, dengan konsep yang sama jika suatu sistem yang terdiri dari n massa, yaitu m₁, m₂, ..., m_n yang masing-masing ditempatkan di (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) pada bidang, maka momen total terhadap sumbu Y dan sumbu X berturut-turut diberikan oleh:

Lebih lanjut, pusat massa (titik keseimbangan) sistem adalah titik (x, y) dengan:

Sekarang perhatikan suatu lamina, yaitu suatu pelat yang sangat tipis sehingga dapat dianggap sebagai berdimensi dua. Misalkan lamina itu mencakup daerah S di bidang XOY dengan kerapatan (massa per satuan luas) dinyatakan oleh δ(x, y), maka massa lamina adalah

dan pusat massa dari lamina adalah

Contoh:

Sebuah lamina dengan densitasnya δ(x, y) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8, dan kurva y³ = x². Tentukan pusat massanya!

Massa totalnya adalah:

Momen total terhadap sumbu y adalah:

Momen total terhadap sumbu x adalah:

Titik beratnya adalah:

x = (12288/13)/(768/5) = 80/13,    y = (1024/3)/(768/5) = 20/9

Jadi, titik beratnya adalah (80/13, 20/9)

2. Momen Inersia

Momen inersia, yang dilambangkan dengan I, adalah hasil kali antara massa (m) dengan kuadrat jarak (r²) dari sumbu rotasi. Secara matematis, dapat ditulis:

I = mr²

Jika kita memiliki sebuah sistem yang terdiri dari n partikel pada bidang yang sama, dengan masing-masing partikel memiliki massa m₁, m₂, ..., m_n dan jarak ke sumbu rotasi L adalah r₁, r₂, ..., r_n, maka momen inersia total sistem terhadap sumbu L dapat dihitung dengan rumus:

Untuk lamina dengan kerapatan δ(x, y) yang mencakup daerah S dari bidang XOY, maka momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu X, Y dan Z berturut-turut diberikan oleh:

Contoh:

Sebuah lamina dengan densitasnya δ(x, y) = xy dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8, dan kurva y³ = x². Tentukan momen inersia terhadap masing-masing sumbu koordinat!

Momen inersia terhadap sumbu x adalah:

Momen inersia terhadap sumbu y adalah:

Momen inersia terhadap sumbu z adalah:

I_z = I_x + I_y = 6144/7 + 6144 = 49152/7.

3. Jari-Jari Girasi

Pertimbangkan masalah mengganti suatu sistem massa umum dengan massa total m menjadi satu titik massa m yang memiliki momen inersia I yang sama terhadap garis L. Seberapa jauh titik ini harus dari L? Jawabannya adalah r̄, di mana mr̄² = I. Angka

r̄ = √(I/m)

disebut jari-jari girasi dari sistem. Dengan demikian, energi kinetik sistem yang berotasi terhadap L dengan kecepatan sudut ω adalah

KE = ½.m.r̄².ω²

4. Luas Permukaan

Misalkan G adalah permukaan di atas daerah tertutup dan terbatas S pada bidang XOY. Asumsikan bahwa f memiliki turunan parsial pertama yang kontinu f_x dan f_y. Kita mulai dengan membuat partisi P dari daerah S dengan garis-garis sejajar dengan sumbu x dan y. Misalkan R_m, m = 1, 2, ..., n, menyatakan persegi panjang yang dihasilkan yang terletak sepenuhnya di dalam S. Untuk setiap m, misalkan G_m adalah bagian dari permukaan yang memproyeksikan ke R_m.

Misalkan P_m adalah titik pada G yang memproyeksikan ke sudut R_m dengan koordinat x dan y terkecil. Terakhir, misalkan T_m adalah jajargenjang dari bidang singgung di P_m yang memproyeksikan ke Rm.

Selanjutnya, kita akan mencari luas jajargenjang T_m, yang proyeksi-nya adalah R_m. Misalkan vektor u_m dan v_m membentuk sisi-sisi dari T_m. Maka:

u_m = Δx_m.i + f_x(x_m, y_m).Δx_m.k 

v_m = Δy_m.j + f_y(x_m, y_m).Δy_m.k 

Ingat kembali bahwa luas jajargenjang T_m adalah ‖u_m × v_m‖, di mana:

Sehingga luas jajargenjang T_m adalah:

Untuk mendapatkan luas sebenarnya dari permukaan, buat partisi yang dilimitkan menuju tak hingga partisi, sehingga ukuran masing-masing partisi menuju nol.

Lebih ringkas dituliskan:

Contoh:

1. Jika S adalah persegi panjang pada bidang XOY yang dibatasi oleh garis x = 0, x = 1, y = 0 dan y = 2, cari luas dari bagian dari permukaan z = √(4 − x²) yang diproyeksikan ke S.

Misal 𝑥 = 2.sin⁡(𝑡) → 𝑑𝑥 = 2.cos(⁡𝑡) 𝑑𝑡, 𝑡 = arcsin(½x)
x = 0 → t = arcsin(0) = 0

x = 1 → t = arcsin(½) = π/6

2. Cari luas permukaan z = x² + y² dibawah permukaan z = 9

f(x, y) = x² + y², f_x(x, y) = 2x, f_y(x, y) = 2y.

S = {(x, y): x² + y² < 9} = {(r, θ): 0 < r < 3, 0 < θ < 2π}

Misal u = 4r² + 1, du = 8r dr, ⅛du = r dr
r = 0 → u = 4.0² + 1 = 1

r = 3 → u = 4.3² + 1 = 37