Barisan dan Deret Aritmetika

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika sering juga disebut barisan hitung adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembeda, (biasanya disimbolkan dengan b). Jadi pembeda merupakan selisih antara 1  suatu suku barisan dengan suku sebelumnya.   

Berdasarkan pengertian barisan aritmetika, maka bentuk umum barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), (a + 3b),..., a + (n − 1)b

dengan

Uₙ = a + (n − 1)b

a: suku pertama barisan

b: beda pada barisan dimana b = Uᵢ − Uᵢ₋₁ dengan i = 2, 3, 4, ..., n

Uₙ: suku ke-n dimana Uₙ = a + (n − 1)b dengan n ∈ A

Contoh:

Diberikan barisan 1, 3, 5, 7, ..., tentukan suku ke 20

a = 1, b = 3 − 1 = 2

Uₙ = 1 + (20 − 1).2 = 39

Jadi, suku ke 20 adalah 39.

2. Suku Tengah

Barisan aritmetika dengan banyak suku n (dengan n adalah bilangan ganjil) memiliki suku tengah U_(n+1)/2. Suku tengah ini sering disimbolkan dengan U_t. Pada barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil:

U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_(n−1)/2, U_(n+1)/2, U_(n+3)/2, ..., U_n−3, U_n−2, U_n−1, U_n 

berlaku:

U₁ + U_n = U₂ + U_n−1 = U₃ + U_n−2 = U₄ + U_n−3 = ... = U_(n−1)/2 + U_(n+3)/2 

Dengan suku tengah:

U_t = U_(n+1)/2 = a + ((n + 1)/2 − 1)b = a + ((n − 1)/2)b = ½(2a + (n − 1)b) = ½(U₁ + U_n)

Berdasarkan uraian di atas, suatu barisan aritmetika dengan banyak suku n (n ganjil) memiliki suku tengah U_t, dimana:

U_t = ½(U₁ + U_n)

Barisan aritmetika dengan banyak suku n dengan n ∈ bilangan genap, tidak memiliki suku tengah.

Contoh:

Suatu barisan aritmetika memiliki suku kelima 25, suku tengah 61, dan suku terakhir 113. Tentukan banyak suku pada barisan aritmetika tersebut!

Diketahui U_t = 61 dan U_n = 113

U_t = ½(U₁ + U_n)

61 = ½(U₁ + 113), kalikan masing-masing ruas dengan 2

122 = U₁ + 113

U₁ = 122 − 113 = 9, a = 9

Diketahui U₅ = 25

a + 4b = 25

9 + 4b = 25

4b = 25 − 9 = 16

b = 16/4 = 4

Karena U_n = 113

a + (n − 1)b = 113

9 + (n − 1)4 = 113

4(n − 1) = 113 − 9 = 104

n − 1 = 104/4 = 26

n = 26 + 1 = 27

Jadi, banyak sukunya adalah 27.

3. Suku Sisipan

A. Beda Baru

Misalkan kita punya sebuah barisan aritmetika. Kita bisa membuat barisan aritmetika baru dari barisan yang lama dengan cara menyisipkan beberapa bilangan di antara dua suku yang berurutan.

• Ambil dua suku berurutan: Kita ambil dua suku yang berurutan dari barisan lama, sebut saja p dan q.

• Sisipkan bilangan: Di antara p dan q, kita sisipkan sebanyak k bilangan. Bilangan-bilangan yang disisipkan ini membentuk barisan aritmetika baru dengan beda b'.

• Barisan baru: Barisan aritmetika baru yang terbentuk adalah: p, p + b', p + 2b', p + 3b', ..., p + kb', q

Misalkan:

p adalah suku pertama pada barisan lama (p = a)

q adalah suku kedua pada barisan lama (q = a + b)

Karena q adalah suku terakhir pada barisan baru yang dimulai dari p dan memiliki k + 1 suku, maka: q = (p + kb') + b'

Substitusikan nilai p dan q: a + b = (a + kb') + b'

Sederhanakan persamaan: b = (k + 1)b'

Dari persamaan di atas, kita dapat mencari nilai b': b' = b / (k + 1)

Beda pada barisan aritmetika baru (b') dapat dihitung dengan membagi beda pada barisan aritmetika lama (b) dengan banyak bilangan yang disisipkan ditambah satu (k + 1).

Rumus:

b' = b / (k + 1)

Keterangan:

b: Beda pada barisan aritmetika lama

b': Beda pada barisan aritmetika baru

k: Banyak bilangan yang disisipkan

B. Beberapa hal terkait penyisipan:

(i) Suku pertama barisan aritmetika lama = suku pertama barisan aritmetika baru 

(ii) Suku terakhir barisan aritmetika lama = suku terakhir barisan aritmetika baru 

(iii) Apabila banyak suku ganjil maka suku tengah barisan aritmetika lama = suku tengah barisan aritmetika baru

(iv) Seandainya banyak suku barisan aritmetika lama adalah n, maka banyak suku barisan aritmetika baru n' = n + (n – 1)k dengan k adalah banyak suku sisipannya.

Contoh:

10 bilangan disisipkan diantara 14 dan C sehingga membentuk barisan aritmetika. Jika 21/2 kali suku ke tujuh barisan yang disisipkan sama dengan jumlah suku-suku sisipan dan yang mengapitnya, tentukan C.

Diketahui k = 10, b = C – 14, dan (21/2).U₇ = Sₙ

n baru = 12, yaitu 14, ..., ..., C, yang mana diantara 14 dan C terdapat 10 sisipan

b' = b/(k + 1) = (C – 14)/11 ↔ C = 11b' + 14

(21/2).U₇ = Sₙ

(21/2).(a + 6b') = ½n(2n + b'(n – 1)), kalikan masing-masing ruas dengan 2

21a + 126b' = n(2n + b'(n – 1)), masukkan a = 14, n = 12

21.14 + 126b' = 12(2.12 + b'(12 – 1))

294 + 126b' = 288 + 11b'

115b' = –6

b' = –6/115

C = 11b' + 14 = –66/115 + 14 = 1544/115

Jadi, nilai C adalah 1544/115

4. Deret Aritmatika

Jika kita memiliki sebuah barisan aritmetika:

U₁, U₂, U₃, U₄, ..., Uₙ₋₃, Uₙ₋₂, Uₙ₋₁, Uₙ

Maka kita dapat membentuk sebuah deret aritmetika yang dinotasikan dengan Sₙ. Deret ini adalah hasil penjumlahan semua suku pada barisan aritmetika tersebut:

Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + Uₙ₋₁ + Uₙ

Kita tahu bahwa pada barisan aritmetika, setiap suku memiliki pola tertentu:

U₁ = a (suku pertama)

U₂ = a + b

U₃ = a + 2b

U₄ = a + 3b

...

Uₙ₋₁ = a + (n – 2)b

Uₙ = a + (n – 1)b

dengan:

a: suku pertama

b: beda (selisih antara dua suku berurutan)

n: banyaknya suku

Kita dapat menyatakan Sₙ dalam dua pengurutan yang berbeda

Sₙ = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 3)b) + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Sₙ = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 3)b) + ... + (a + 2b) + (a + b) + a

2Sₙ = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b), sebanyak n

2Sₙ = n(2a + (n – 1)b)

Sₙ = ½n(2a + (n – 1)b)

Contoh:

Suatu deret aritmatika 2 + 5 + 8 + 11 + ... Diketahui Sₙ = 392. Tentukan banyak suku pada deret tersebut dan tentukan suku ke-n dari deret yang dimaksud.

Diketahui a = 2, b = 5 – 2 = 3, dan Sₙ = 392

½n(2.2 + (n – 1)3) = 392, kalikan masing-masing ruas dengan 2

n(3n + 1) = 784

3n² + n – 784 = 0

(3n + 49)(n – 16) = 0

n = –49/3 (TM) ∨ n = 16

Uₙ = a + (n – 1)b = 2 + 3(16 – 1) = 47

Jadi, banyak suku pada deret tersebut adalah 16 dan suku ke-n adalah 47.