Barisan dan Deret Gabungan (Aritmetika dan Geometri)

1. Barisan Gabungan

Suku-suku pada barisan gabungan terbentuk dari perkalian suku-suku yang bersesuaian dari suatu barisan aritmetika dan barisan Geometri.

Misal barisan aritmetika a, a + b, a + 2b, ..., a + (n − 1)b

barisan geometri c, cr, cr², ..., crⁿ⁻¹

Barisan gabungan dengan mengalikan suku-suku yang bersesuaian:

Uₙ = [a + (n − 1)b].crⁿ⁻¹

ac, (a + b)cr, (a + 2b)cr², ..., [a + (n − 1)b].crⁿ⁻¹

Contoh:

Diberikan barisan aritmetika 1, 2, 3, ..., n

diberikan barisan geometri 1, 5, 25, ..., 5ⁿ⁻¹

Kita dapat membuat barisan gabungan dengan mengalikan suku-suku yang bersesuaian menjadi:

1, 10, 75, 500, 3125, 18750, ..., n.5ⁿ⁻¹

2. Deret Gabungan

Suku-suku pada barisan gabungan terbentuk dari perkalian suku-suku yang bersesuaian dari suatu barisan aritmetika dan barisan Geometri.

Misal barisan gabungan ac, (a + b)cr, (a + 2b)cr², ..., [a + (n − 1)b].crⁿ⁻¹

Deretnya adalah

Sₙ = ac + (a + b)cr + (a + 2b)cr² + ... + [a + (n − 1)b].crⁿ⁻¹ ...(i)

kalikan masing-masing ruas dengan r

rSₙ = acr + (a + b)cr² + (a + 2b)cr³ + ... + [a + (n − 1)b].crⁿ ...(ii)

kurangkan (ii) dengan (i)

(r − 1)Sₙ = −ac − bcr − bcr² − bcr³ − ... − bcrⁿ⁻¹ + [a + (n − 1)b].crⁿ

(r − 1)Sₙ = [a + (n − 1)b].crⁿ − ac − (bcr + bcr² + bcr³ + ... + bcrⁿ⁻¹)

(r − 1)Sₙ = [a + (n − 1)b].crⁿ − ac − [bcr(rⁿ⁻¹ − 1)]/(r − 1), bagi masing-masing ruas dengan r − 1

Contoh:

Diketahui Uₙ = n.5ⁿ⁻¹, tentukan Sₙ.

Perhatikan barisan aritmatika Uₙ = n

1, 2, 3, 4, ...

a = 1, b = 1

Perhatikan barisan geometri Uₙ = 5ⁿ⁻¹

1, 5, 25, 125, ...

c = 1, r = 5