Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri atau barisan ukur adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding atau rasio, (biasanya disimbolkan dengan r).

Berdasar pengertian barisan Geometri, maka bentuk umum barisan Geometri adalah 

sebagai berikut. 

a, ar, ar², ..., arⁿ⁻¹.

dengan

Uₙ = arⁿ⁻¹

a: suku pertama barisan 

r: rasio pada barisan dimana r = U_i/U_i-1 dengan i = 2, 3, 4, …, n 

Uₙ: suku ke-n dimana Uₙ = arⁿ⁻¹ dengan n ∈ A 

2. Suku Tengah

Barisan geometri dengan banyak suku n (dengan n adalah bilangan ganjil) memiliki suku tengah U_(n+1)/2. Suku tengah ini sering disimbolkan dengan U_t. Pada barisan geometri dengan banyak suku ganjil:

U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_(n−1)/2, U_(n+1)/2, U_(n+3)/2, ..., U_n−3, U_n−2, U_n−1, U_n 

berlaku:

U₁ ∙ U_n = U₂ ∙ U_n−1 = U₃ ∙ U_n−2 = U₄ ∙ U_n−3 = ... = U_(n−1)/2 ∙ U_(n+3)/2 = (U_(n+1)/2)²

Dengan suku tengah:

Karena U₁.Uₙ = (U_(n+1)/2)² maka U_t = √(U₁.Uₙ) = √(a.a.rⁿ⁻¹) = a√(rⁿ⁻¹)

Berdasarkan uraian di atas, suatu barisan geometri dengan banyak suku n = ganjil, maka barisan ini memiliki suku tengah U_t, dimana:

U_t = a√(rⁿ⁻¹)

Karena U₁.Uₙ = U₂.Uₙ₋₁ = U₃.Uₙ₋₂ = U₄.Uₙ₋₃ = ... = U_(n−1)/2 ∙ U_(n+3)/2 = (Uₜ)² maka

pada suatu barisan geometri dengan banyak suku n dengan n ∈ bilangan ganjil hasil kali suku-sukunya adalah ((Uₜ)²)^(n-1)/2 = Uₜⁿ⁻¹ (Uₜ)² = Uₜⁿ

Barisan aritmetika dengan banyak suku n dengan n ∈ bilangan genap, tidak memiliki suku tengah.

3. Suku Sisipan

Suatu barisan Geometri baru dapat terbentuk dari suatu barisan Geometri lama dengan diberikan sisipan sebanyak k bilangakan diatara dua suku yang berurutannya. Misalkan p dan q dua suku berurutan pada suatu barisan Geometri. Diantara p dan g disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri dengan rasio r' berikut ini:

p, pr', p(r')², ..., p(r')^k, q

dari barisan tersebut maka diperoleh hal berikut ini:

Rasio pada barisan baru (r') dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Anggap p adalah suku pertama pada barisan geometri lama, sehingga p = a

Anggap q adalah suku kedua pada barisan geometri lama, sehingga q = ar

Karena q juga merupakan suku pertama pada barisan geometri baru yang ditingkatkan pangkatnya sebanyak k, maka kita bisa tulis:

q = p(r')^k.r'

Substitusikan nilai p dan q yang sudah kita definisikan:

ar = a(r')^k+1 

r = (r')^k+1 

Untuk mencari r', kita akarkan kedua ruas persamaan dengan pangkat (k+1):

r' = r^1/(k+1) 

Jadi, r' = r^1/(k+1) 

Dimana:

r adalah rasio barisan geometri lama

r' adalah rasio barisan geometri baru

B. Beberapa hal terkait penyisipan:

(i) Suku pertama barisan geometri lama = suku pertama barisan geometri baru 

(ii) Suku terakhir barisan geometri lama = suku terakhir barisan geometri baru 

(iii) Jika banyak suku ganjil maka suku tengah barisan geometri lama = suku tengah barisan geometri baru 

(iv) Seandainya banyak suku barisan geometri lama adalah n, maka banyak suku barisan geometri baru n' = n + (n – 1)k dengan k adalah banyak suku sisipannya.

Contoh:

Sisipkan 5 bilangan antara 6 dan 24576 sehingga membentuk barisan geometri. Apakah barisan yang terbentuk memiliki suku tengah? Jika barisan memiliki suku tengah, maka carilah suku tengah pada barisan tersebut.

• Diketahui:

Barisan lama: Suku pertama (U₁) = 6 dan suku kedua (U₂) = 24576

Jumlah bilangan yang disisipkan (k) = 5

• Mencari rasio barisan lama:

Rasio (r) = U₂ / U₁ = 24576 / 6 = 4096

• Mencari rasio barisan baru:

Rasio barisan baru (r') = akar pangkat (k+1) dari r = akar pangkat 6 dari 4096 = 4

Menentukan apakah ada suku tengah:

Karena ada 5 bilangan yang disisipkan, maka total ada 7 suku pada barisan geometri baru. Karena jumlah sukunya ganjil, maka barisan ini memiliki suku tengah.

• Mencari suku tengah:

Suku tengah (Uₜ) = a√(rⁿ⁻¹) = 6√(4⁶) = 384

Jadi, barisan geometri yang terbentuk adalah:

6, 24, 96, 384, 1536, 6144, 24576

Dan suku tengahnya adalah 384.

4. Deret Geometri

Jika diketahui suatu barisan geometri:

U₁, U₂, U₃, U₄, ..., Uₙ₋₃, Uₙ₋₂, Uₙ₋₁, Uₙ

maka dapat dibuat suatu deret geometri Sₙ:

Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + Uₙ₋₁ + Uₙ

Berikut ini akan ditentukan rumus deret geometri tersebut:

U₁ = a

U₂ = ar

U₃ = ar²

U₄ = ar³

...

Uₙ₋₁ = arⁿ⁻¹

Uₙ = arⁿ

Sehingga:

Sₙ = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ ...(i)

Kalikan kedua ruas dengan r:

rSₙ = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ ...(ii)

Kurangkan persamaan (i) dengan (ii):

(1 – r)Sₙ = a – arⁿ

Sehingga diperoleh:

Sₙ = a(1 – rⁿ)/(1 – r)

Ini merupakan rumus deret geometri jika –1 < r < 1.

Untuk r yang lain, deret geometri diperoleh dengan rumus:

Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1)

Contoh soal:

Dari deret geometri dengan suku-sukunya positif diketahui suku tengahnya 24 dan hasil kali semua suku-sukunya 2¹⁵.3⁵, jika suku kedua dari deret tersebut adalah 12, tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut!

Diketahui deret geometri dengan suku-sukunya positif.

Uₜ = 24 → a√(rⁿ⁻¹) = 24 = 2³.3

Hasil kali semua sukunya 2¹⁵.3⁵

Uₜⁿ = 2¹⁵.3⁵

2³ⁿ.3ⁿ = 2¹⁵.3⁵

3n = 15 dan n = 5

sehingga suku tengahnya adalah suku ke 3

ar² = 24

suku kedua adalah 12

ar = 12

sehingga diperoleh r = 24/12 = 2 dan a = 12/2 = 6

Sₙ = a(rⁿ – 1)/(r – 1) = 6(2¹⁰ – 1)/(2 – 1) = 6138

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama adalah 6138.

5. Deret Geometri Tak Hingga

Misal terdapat deret geometri Sₙ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + Uₙ₋₁ + ... dijumlahkan sampai tak hingga maka disebut sebagai deret geometri tak hingga yang disimbolkan dengan S_∞. Hasil dari deret tak hingga tergantung dari nilai rasionya.

A. Jika r ≥ 1 maka

a + ar + ar² + ...

Untuk a negatif, nilai deret terus mengecil, sehingga S_∞ = –∞

Untuk a positif, nilai deret terus membesar, sehingga S_∞ = ∞

B. Jika –1 < r < 1 maka semakin membesar nilai n, nilai rⁿ akan semakin mendekati 0, sehingga:

Sₙ = a(1 – rⁿ)/(1 – r) akan semakin mendekati a(1 – 0)/(1 – r) = a/(1 – r)

Jadi, S_∞ = a/(1 – r)

C. Jika r = –1, deretnya akan menjadi:

a – a + a – a + a – a + ...

Untuk n ganjil, Sₙ = a, dan untuk n genap Sₙ = 0. Silahkan Sixtyfourians fikirkan, apakah tak hingga itu ganjil atau genap? tentu saja kita tidak bisa memastikannya. Sehingga kita tidak dapat menentukan deret geometri tak hingga untuk r = –1.

D. Jika r < –1 maka

a + ar + ar² + ...

Untuk n ganjil, Sₙ akan setanda dengan a

Untuk n genap, Sₙ akan berlawanan tanda dengan a

Silahkan Sixtyfourians fikirkan, apakah tak hingga itu ganjil atau genap? tentu saja kita tidak bisa memastikannya. Sehingga kita tidak dapat menentukan deret geometri tak hingga untuk r < –1.

Jadi deret geometri tak hingga akan memberikan suatu nilai tertentu jika deret geometri tersebut Konvergen. Deret geometri akan konvergen jika –1 < r < 1 dengan rumus deret geometri tak hingga adalah S_∞ = a/(1 – r).

Contoh:

Sebuah deret geometri turun tak berhingga. Diketahui S_∞ = 20. Limit jumlah kuadrat dari suku 𝑛 → ∞ adalah 400/3. Tentukan suku ke-6 dari deret semula tersebut!

S_∞ = 20 → a/(1 – r) = 20 ...(i)

a²/(1 – r²) = 400/3 ...(ii)

(i)² ÷ (ii) → (1 – r²)/(1 – r)² = 3 ↔ (1 + r)/(1 – r) = 3 ↔ r = ½, masukkan ke (i)

a/(1 – ½) = 20 ↔ a = 20.½ = 10

U₆ = 10.(½)⁵ = 5/16