Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponen dan Rumus Euler

1. Bentuk Eksponen dan Rumus Euler

Selain bentuk standar z = a + bi dan bentuk polar z = r.cis(θ), kita juga dapat menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk eksponen.

Leonhard Euler merumuskan:

e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ) = cis(θ)

Sehingga bilangan kompleks dalam bentuk eksponen adalah z = r.e^iθ 

Apabila kita pangkatkan dengan n, akan menjadi:

zⁿ = (r.e^iθ)ⁿ 

= rⁿ.e^inθ 

= rⁿ.cis(nθ)

Terbentuklah dalil De Moivre, padahal n sebarang bilangan real, sehingga dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan real.

2. Operasi Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponen

Misal z₁ = r₁.e^iθ₁ dan z₂ = r₂.e^iθ₂, berikut ini operasinya:

A. Perkalian

z₁z₂ =  r₁.r₂.e^{i(θ₁ + θ₂)} 

B. Pembagian

z₁/z₂ =  (r₁/r₂).e^{i(θ₁ – θ₂)} 

C. Invers

z^–1 = 1/z = 1/r.(e^–iθ)

3. Akar Pangkat dari Bilangan Kompleks

Misalkan kita memiliki bilangan kompleks z yang dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai z = r.cis(θ). Akar pangkat-n dari bilangan kompleks z dapat ditulis sebagai:

z^1/n atau ⁿ√z

Jika diberikan bilangan kompleks z ≠ 0 dan n adalah bilangan bulat positif, maka kita akan mendapatkan n buah akar untuk z^1/n, yaitu:

zₖ = ⁿ√r.[cos(θ + 2kπ)/n + i.sin(θ + 2kπ)/n]

dengan k = 0, 1, 2, ..., (n – 1)

Interpretasi Geometri

Secara geometri, n buah akar tersebut akan membentuk titik-titik sudut dari sebuah segi-n beraturan yang terletak pada sebuah lingkaran. Lingkaran ini memiliki pusat di titik O dan jari-jari sebesar ⁿ√r.

Contoh Soal

Diberikan z = (−8 − 8√3𝑖)^¼, tentukan semua akarnya.

𝑥 = −8, 𝑦 = −8√3.

Sehingga akar-akarnya adalah (1 + i√3, −√3 + i, −1 − i√3, √3 − i).