Bilangan Kompleks dan Bidang Kompleks

1. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dengan (a + bi), di mana a dan b adalah bilangan-bilangan real dan i = √(−1). Secara geometris dapat digambarkan pada bidang koordinat yang disebut bidang kompleks.

Misal z = a + bi, berikut keterangannya:

a = Re(z) = bagian real dari z

b = Im(z) = bagian imajiner dari z

i = √(−1) = satuan imajiner

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks, yaitu:

1. Himpunan bilangan kompleks

C = {z | z = a + bi; a, b ∈ R; i² = −1}

2. Bilangan z dengan Im(z) = 0 adalah bilangan real

3. Bilangan z dengan Re(z) = 0 adalah bilangan imajiner murni

4. Kesamaan bilangan kompleks

Dua bilangan komplek (a + bi) dan (c + di) dikatakan sama jika a = c dan b = d.

5. Konjugat / Sekawan

Sekawan (conjugate) kompleks dari bilangan kompleks z = (a + bi) adalah z̄ = (a − bi).

2. Bidang Kompleks / Bidang Argand

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut (a, b), sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik (a, b) pada bidang kompleks (bidang XOY), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajiner). Selain itu, bilangan kompleks z = a + bi juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik O dan ujung vektor merupakan titik (a, b).

Sudut θ yang merupakan sudut antara 𝑂𝑃 ⃗ dan sumbu-x positif disebut argumen dari bilangan kompleks (a + bi). Bilangan kompleks (a + bi) mempunyai modulus dan argument yang dapat ditentukan sebagai berikut:

Oleh karena itu:

a/r = cos(θ), berarti bahwa a = r.cos(θ)

b/r = sin(θ), berarti bahwa b = r.sin(θ)

Dalam bentuk polar:

a + bi = r.cos(θ) + r.sin(θ)i = r.(cos(θ) + i.sin(θ)) = r.cis(θ)

Konjugat dalam bentuk polar:

a − bi = r.cos(θ) − r.sin(θ)i = r.(cos(θ) − i.sin(θ)) = r.(cos(−θ) + i.sin(−θ)) = r.cis(−θ)

Contoh Soal

Diberikan bilangan kompleks (1 – i√3)

a. Tentukan modulus r

a = 1, b = –√3

r² = a² + b² = 1² + (–√3)² = 4

r = √4 = 2

b. Tentukan argumen θ

tan(θ) = b/a = –√3

Perhatikan kuadrannya, karena a positif dan b negatif, θ di kuadran IV.

θ = arctan(–√3) = 5π/3

c. Tuliskan dalam bentuk Polar

r = 2, θ = 5π/3

z = r.cis(θ) = 2.cis(5π/3)