Bunga Majemuk

1. Pengertian Bunga Majemuk

Bunga majemuk, atau yang disebut juga dengan bunga berbunga, adalah bunga yang dihitung berdasarkan pokok awal, sekaligus mencakup semua bunga akumulasi dari periode sebelumnya pada suatu deposito atau pinjaman.

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya. Bunga ini selalu berubah tiap periodenya. Dengan kata lain, bunga majemuk bakal mengakumulasikan bunga dengan periode sebelumnya. Dengan perhitungan bunga majemuk, besaran bunga akan berbeda setiap periode.

Besar modal dari periode ke periode membentuk barisan geometri.

2. Rumus Bunga Majemuk

Rumus perolehan bunga pada akhir periode ke-n adalah:

Iₙ = i × (1 + i)ⁿ⁻¹ × M₀

Rumus besar modal setelah periode ke-n adalah:

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

Keterangan:

M₀: Modal Awal

i: Besar bunga dalam %

n: Lama periode

Iₙ: Besar bunga pada akhir periode ke-n

Mₙ: Besar Modal pada akhir periode ke-n

Contoh:

Seseorang menabung sebesar Rp1.000.000 (M₀) dengan suku bunga 5% per tahun (i = 0,05) selama 3 tahun (n = 3). Untuk menghitung modal akhir setelah 3 tahun, kita bisa menggunakan rumus di atas.

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

= 1000000 × (1 + 0,05)³

= Rp1.157.625

Jadi, setelah 3 tahun tabungannya adalah Rp1.157.625

3. Nilai Tunai

Misalkan seseorang meminjam sejumlah uang pada suatu bank. Pinjaman itu akan dikembalikan dalam jangka waktu tertentu. Pada saat pengembalian tersebut dia harus mengembalikan nilai tertentu. Sejumlah uang yang diterima diawal peminjaman tersebut yang disebut sebagai Nilai Tunai dari pinjaman tersebut.

Rumus untuk menentukan nilai tunai sama dengan rumus untuk menentukan modal awal berdasarkan modal akhir, yaitu:

Nₜ = Mₙ ÷ (1 + i)ⁿ

Keterangan:

Nₜ: Nilai tunai

Mₙ: Nilai yang harus dikembalikan

i: Suku bunga

Contoh:

Dita meminjam sejumlah uang pada suatu bank dengan suku bunga majemuk 2% per tahun. Jika Dita harus mengembalikan Rp 1.000.000 pada 5 tahun kemudian, nilai tunai yang diterima adalah...

Nₜ = Mₙ ÷ (1 + i)ⁿ

= 1000000 ÷ (1 + 0,02)⁵

= 1000000 ÷ 1,1040808032

≈ 905730,81

Jadi, nilai tunai yang diterima adalah Rp 907.530,81

4. Bunga Majemuk Periodik / Diskrit

Nilai akumulasi total, termasuk jumlah pokok P ditambah bunga majemuk I, diberikan oleh rumus:

A = P(1 + r/n)^nt 

Keterangan:

A: jumlah akhir (total uang yang kita dapatkan setelah beberapa periode)

P: jumlah pokok (uang yang kita investasikan awalnya)

r: suku bunga nominal tahunan (persentase bunga per periode utama)

n: frekuensi penggabungan bunga (berapa kali bunga dihitung dan ditambahkan ke pokok dalam satu periode utama).

t: jangka waktu bunga diterapkan

Contoh:

Seseorang menabung sebesar Rp1.000.000,- di bank dengan suku bunga 5% per tahun yang dihitung setiap bulan. Jika dia menabung selama 20 bulan, maka tabungan akhirnya adalah...

P = Rp1.000.000,-

r = 5% = 0,05

n = 12 (karena dihitung setiap bulan)

t = 20 bulan

Mari kita hitung

A = P(1 + r/n)^nt 

= 1000000 × (1 + 0,05/12)²⁰ 

≈ 1000000 × (1,004167)²⁰ 

≈ 1000000 × 1,086716

≈ 1086716

Jadi, tabungan akhirnya adalah Rp 1.086.716.

Akan berbeda hasilnya jika perhitungan bunganya per tahun, akan kita peroleh:

A = P(1 + r/n)^nt 

= 1000000 × (1 + 0,05)^20/12 ≈ 1000000 × 1,084715 ≈ 1084715

Jika perhitungan bunganya per tahun, tabungan akhirnya adalah Rp 1.084.715

5. Bunga Majemuk Kontinu

Ketika jumlah periode penggabungan bunga per tahun meningkat tanpa batas, terjadi penggabungan bunga secara kontinu, di mana tingkat bunga efektif tahunan mendekati batas atas e^r – 1. Penggabungan bunga secara kontinu dapat dianggap sebagai membiarkan periode penggabungan menjadi sangat kecil, yang dicapai dengan mengambil limit ketika n mendekati tak hingga. Jumlah setelah t periode penggabungan bunga secara kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah awal P₀ sebagai:

Pₜ = P₀ × e^rt 

Keterangan

Pₜ: Modal akhir setelah t periode

P₀: Modal awal

r: Persentase bunga

t: Banyak periode

Contoh:

Andi menabung sebesar Rp10.000.000,- di sebuah bank yang menawarkan bunga majemuk kontinu sebesar 8% per tahun. Berapa jumlah tabungan Andi setelah 5 tahun?

Diketahui

P₀ = Rp10.000.000,-

r = 8% = 0,08

t = 5 tahun

mari kita hitung

Pₜ = P₀ × e^rt 

= 10000000 × e^(0,08).5 

= 10000000 × e^0,4 

≈ 10000000 × 1,491824698

≈ 14918246,98

Jadi, setelah 5 tahun, tabungan Andi akan menjadi sekitar Rp14.918.246,98

Contoh Soal

1. Cici menyimpan uang di bank sebesar 75.000.000,00. Pada awal tahun 2010. Berapa besar modal tersebut pada akhir tahun 2020 jika diperhitungkan dengan bunga majemuk 5% pertahun?

Diketahui M₀ = Rp75.000.000; i = 5% = 0,05; n = 2020 – 2010 + 1 = 11

karena awal 2010 sampai akhir 2020, sehingga belakangnya ditambah 1

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

= 75000000 × (1 + 0,05)¹¹

≈ 75000000 × 1,710339358

≈ 128275451,86

Jadi, pada akhir tahun 2020, besar modalnya adalah Rp128.275.451,86

2. Ardi meminjam uang pada Bakar sebesar Rp 10.000.000,00 dengan bunga majemuk 6% pertahun. Ardi meminjamkan uang tersebut kepada Chandra dengan bunga majemuk 3% persemester. Berapa keuntungan Ardi dalam 10 tahun.

a. Pinjaman Ardi pada Bakar

M₀ = Rp10.000.000; i = 6% = 0,06; n = 10 tahun

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

= 10000000 × (1 + 0,06)¹⁰

≈ 10000000 × 1,790847697

≈ 17908476,97

b. Pinjaman Chandra pada Ardi

M₀ = Rp10.000.000; i = 3% = 0,03; n = 20 semester

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

= 10000000 × (1 + 0,03)²⁰

≈ 10000000 × 1,806111235

≈ 18061112,35

Keuntungan Ardi adalah 18061112,35 – 17908476,97 ≈ 152635,38

Jadi, keuntungan Ardi dalam 10 tahun adalah Rp152.635,38

3. Carilah nilai tunai modal yang sudah dibungakan 2,5% per bulan selama 2 tahun menjadi Rp 2.500.000,00

Diketahui Mₙ = Rp 2.500.000,00; i = 2,5% = 0,025; n = 24 bulan

Nₜ = Mₙ ÷ (1 + i)ⁿ

= 2500000 ÷ (1 + 0,025)²⁴

≈ 2500000 ÷ 1,80872595

≈ 1382188,39

Jadi, nilai tunainya adalah Rp1.382.188,39

4. Untuk dapat membangung sebuah rumah indekos, Noah menabung di Bersahaja Bank sebesar 1.000.000.000. Jika Bersahaja Bank memberikan bunga majemuk sebesar 16% setiap tahunnya, sedangkan lama periode adalah 3 bulan, maka berapa total tabungan Noah setelah 5 tahun?

Diketahui P = 1.000.000.000; r = 16% = 0,16; n = 4 (karena per tiga bulan); t = 5 tahun

A = P(1 + r/n)^nt 

= 1000000000 × (1 + 0,16/4)^5.4 

≈ 1000000000 × (1,04)²⁰ 

≈ 1000000000 × 2,191123143

≈ 2191123143

Jadi, tabungan Noah setelah 5 tahun adalah Rp2.191.123.143