Fungsi Densitas Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif

1. Fungsi Densitas Probabilitas untuk Variabel Random Diskrit

Misalkan Ωx adalah ruang dari variabel random diskrit X, maka fungsi f dari Ωx ke R dinamakan fungsi  densitas probabilitas (FDP) dari variabel random X yang dinotasikan  f(x)  jika dipenuhi :

1. (∀x). f(x) ≥ 0

Nilai fungsi tak pernah negatif.

2. Σ f(x) = 1

Jumlah seluruh peluangnya adalah 1.

Misal X merupakan variabel random diskrit dengan FDP f(x)

1. f(x) = P(X = x)

2. Untuk setiap A ⊆ Ωx, peluang terjadinya kejadian A adalah

Contoh:

Diketahui varibel random X. Jika f(x) merupakan fungsi dari Ωx ke R yang didefinisikan oleh

a. Tunjukkan bahwa f(x) merupakan FDP

• Untuk x = 1, 2, 3, ..., nilai f(x) selalu positif, karena bilangan positif dipangkatkan berapapun selalu positif, sedangkan untuk selainnya bernilai 0, sehingga nilai f(x) tak pernah negatif.

• Jumlah seluruh peluangnya adalah:

Jumlah seluruh peluangnya adalah 1.

Karena nilai f(x) tidak pernah negatif dan jumlah seluruh peluangnya adalah 1, f(x) merupakan FDP.

b. Tentukan P(A) jika A = {x | x = 1, 3, 5, ...}

Jadi, peluang terjadinya kejadian A adalah 2/3.

2. Fungsi Densitas Probabilitas untuk Variabel Random Kontinu

Misalkan Ωx adalah ruang dari variabel random kontinu X, maka fungsi f dari Ωx ke R dinamakan fungsi  densitas probabilitas (FDP) dari variabel random X dengan simbol f(x) jika dipenuhi:

1. (∀x). f(x) ≥ 0

Nilai fungsi tak pernah negatif.

2. Integral menyeluruh adalah 1

Misal X merupakan variabel random kontinu dengan FDP f(x)

1. Peluang interval

2. Untuk setiap A ⊆ Ωx, peluang terjadinya kejadian A adalah

Contoh:

Diketahui variabel random X dengan Fdp f(x) yang didefinisikan sbb.

Tentukan nilai k dan peluang P(1 < X < 3)!

telah diperoleh nilai k, yaitu ½, sehingga f(x) adalah:

untuk P(1 < X < 3):

Jadi, peluang nilai X diantara 1 dan 3 adalah ¾.

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi Distribusi Kumulatif dari variabel random X yang dinotasikan dengan F(x) adalah fungsi dengan domain R = {x | −∞ < x < ∞} dan range {F(x) | 0 ≤ F(x) ≤ 1} didefiniskan sebagai:

F(x) = P(X ≤ x).

Syarat-syarat fungsi distribusi kumulatif:

1. F(−∞) = 0 dan F(∞) = 1

2. Nilai F(x) tidak pernah turun, artinya nilai f(x) konstan atau naik.
(∀a, b ∈ R). a < b → F(a) ≤ F(b)

3. Nilai F(x) kontinu kanan, artinya limit kanan dari F(x) sama dengan nilai F(x)

Jika X adalah variabel random, maka F(x)  dapat diperoleh dari f(x) dan sebaliknya.

a. Untuk X diskrit:

Contoh:

Diketahui VR X dengan F(x) didefiniskan sbb:

Tentukan fungsi densitas probabilitas VR X!

Perhatikan batas-batas interval:

Sehingga f(x) adalah:

Bentuk ini dapat disingkat menjadi:

b. Untuk X kontinu:

Contoh:

Diberikan VR X dengan f(x) didefinisikan sebagai berikut:

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X!

(i) Untuk x < 0:

(ii) Untuk 0 ≤ x < 1:

(iii) Untuk 1 ≤ x < 4:

(iv) Untuk x ≥ 4:

Jadi, F(x) adalah: