Identitas Trigonometri dan Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

1. Identitas Perkalian dan Pembagian
A. Identitas Perkalian
sin(α) × sec(α) = y/r × r/x = y/x = tan(α)
cos(α) × csc(α) = x/r × r/y = x/y = cot(α)
tan(α) × cos(α) = y/x × x/r = y/r = sin(α)
csc(α) × tan(α) = r/y × y/x = r/x = sec(α)
sec(α) × cot(α) = r/x × x/y = r/y = csc(α)
cot(α) × sin(α) = x/y × y/r = x/r = cos(α)
Jadi,
sin(α).sec(α) = tan(α),    csc(α).tan(α) = sec(α)
cos(α).csc(α) = cot(α),    sec(α).cot(α) = csc(α)
tan(α).cos(α) = sin(α),    cot(α).sin(α) = cos(α)
B. Identitas Pembagian
sin(α)/cos(α) = tan(α),    csc(α)/cot(α) = sec(α)
cos(α)/sin(α) = cot(α),    sec(α)/tan(α) = csc(α)
tan(α)/sec(α) = sin(α),    cot(α)/csc(α) = cos(α)
C. Identitas Resiprokal
sin(α) × csc(α) = y/r × r/y = y/y = 1
cos(α) × sec(α) = x/r × r/x = x/x = 1
tan(α) × cot(α) = y/x × x/y = y/y = 1
Jadi,
sin(α).csc(α) = 1 ↔ sin(α) = 1/csc(α) ↔ csc(α) = 1/sin(α)
cos(α).sec(α) = 1 ↔ cos(α) = 1/sec(α) ↔ sec(α) = 1/cos(α)
tan(α).cot(α) = 1 ↔ tan(α) = 1/cot(α) ↔ cot(α) = 1/tan(α)

2. Identitas Pythagoras
Ingat kembali bahwa x² + y² = r², kita dapat membagi masing-masing ruas dengan x², y², maupun r².
sin²(α) + cos²(α) = 1
tan²(α) + 1 = sec²(α) ↔ sec²(α) – tan²(α) = 1
cot²(α) + 1 = csc²(α) ↔ csc²(α) – cot²(α) = 1

3. Jumlah dan Selisih Sudut
A. Rumus Jumlah Sudut untuk Sinus dan Kosinus
Perhatikan gambar berikut:
Diberikan persegi panjang ABCD, titik E terletak pada sisi BC dan titik F terletak pada sisi CD sehingga sudut AEF siku-siku, dan panjang segmen AF adalah 1.
• Perhatikan segitiga AEF
Segitiga AEF siku-siku di E, dan panjang sisi AF yang merupakan sisi miring adalah 1.
Misal besar sudut EAF adalah β, maka
panjang sisi AE adalah cos(β) dan panjang sisi EF adalah sin(β).
• Perhatikan segitiga ABE
Segitiga ABE siku-siku di B, dan panjang sisi AE yang merupakan sisi miring adalah cos(β).
Misal besar sudut BAE adalah α, maka
panjang sisi AB adalah cos(α).cos(β) ...(i)
panjang sisi BE adalah sin(α).cos(β) ...(ii)
• Perhatikan segitiga segmen BC
∠BEA = 180° – (∠BAE + ∠ABE) = 180° – (α + 90°) = 90° – α (iii)
∠AEF = 90° (iv)
∠CEF = 180° – (∠BEA + ∠AEF) karena berpelurus, lalu masukkan (iii) dan (iv)
∠CEF = 180° – (90° – α + 90°) = α ...(v)
• Perhatikan segitiga ECF
Segitiga ECF siku-siku di C dan panjang sisi EF yang merupakan sisi miring adalah sin(β).
Diketahui ∠CEF = α, maka
panjang sisi CE adalah cos(α).sin(β) ...(vi)
panjang sisi CF adalah sin(α).sin(β) ...(vii)
• Perhatikan segitiga ADF
Segitiga ADF siku-siku di D dan panjang sisi AF yang merupakan sisi miring adalah 1.
∠DFA = ∠BAF karena dalam berseberangan
∠DFA = ∠BAF = ∠BAE + ∠EAF = α + β, maka
panjang sisi DF adalah cos(α + β) ...(viii)
panjang sisi AD adalah sin(α + β) ...(ix)
• Perhatikan persegi panjang ABCD
Karena ABCD persegi panjang, maka |AB| = |CD| dan |AD| = |BC|
Untuk |AB| = |CD|, masukkan (i)
cos(α).cos(β) = |CF| + |DF|, masukkan (vii) dan (viii)
cos(α).cos(β) = sin(α).sin(β) + cos(α + β)
∴ cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β)
Untuk |AD| = |BC|, masukkan (ix)
sin(α + β) = |BE| + |CE|, masukkan (ii) dan (vi)
∴ sin(α + β) = sin(α).cos(β) + cos(α).sin(β)
Sedangkan rumus selisih sudut untuk sinus dan kosinus adalah:
cos(α – β) = cos(α).cos(–β) – sin(α).sin(–β) = cos(α).cos(β) + sin(α).sin(β)
sin(α – β) = sin(α).cos(–β) + cos(α).sin(–β) = sin(α).cos(β) – cos(α).sin(β)
AIO rumus jumlah dan selisih sudut untuk sinus dan kosinus:
cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β)
cos(α – β) = cos(α).cos(β) + sin(α).sin(β)
sin(α + β) = sin(α).cos(β) + cos(α).sin(β)
sin(α – β) = sin(α).cos(β) – cos(α).sin(β)
B. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut untuk Tangen dan Kotangen
• Rumus jumlah sudut untuk tangen
• Rumus selisih sudut untuk tangen
• Rumus jumlah sudut untuk kotangen
• Rumus selisih sudut untuk kotangen
AIO rumus jumlah dan selisih sudut untuk tangen dan kotangen:
C. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut untuk Sekan dan Kosekan
• Rumus jumlah sudut untuk sekan
boleh juga:
• Rumus selisih sudut untuk sekan
boleh juga:
• Rumus jumlah sudut untuk kosekan
boleh juga:
• Rumus selisih sudut untuk kosekan
boleh juga:
AIO rumus jumlah dan selisih sudut untuk sekan dan kosekan:
boleh juga:

4. Jumlah dan Selisih Sudut Istimewa
sin(15°) = sin(45° – 30°) = sin(45°).cos(30°) – cos(45°).sin(30°)
cos(15°) = cos(45° – 30°) = cos(45°).cos(30°) + sin(45°).sin(30°)
tan(15°) = tan(45° – 30°) = [tan(45°) – tan(30°)]/[1 + tan(45°).tan(30°)]
csc(15°) = 1/sin(15°)
sec(15°) = 1/cos(15°)
cot(15°) = 1/tan(15°)
dengan menggunakan identitas trigonometri ataupun sudut-sudut yang berelasi, kita dapat mencari perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut serupa.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut yang dapat ditentukan menggunakan jumlah dan selisih dari sudut-sudut istimewa:

5. Perkalian Perbandingan Trigonometri
A. Kosinus dikali Kosinus dan Sinus dikali Sinus
Ingat kembali:
cos(α + β) = cos(α).cos(β) – sin(α).sin(β) ...(i)
cos(α – β) = cos(α).cos(β) + sin(α).sin(β) ...(ii)
(i) + (ii) → 2.cos(α).cos(β) = cos(α + β) + cos(α – β)
(ii) – (i) → 2.sin(α).sin(β) = cos(α – β) – cos(α + β)
B. Kosinus dikali Sinus
Ingat kembali:
sin(α + β) = sin(α).cos(β) + cos(α).sin(β) ...(i)
sin(α – β) = sin(α).cos(β) – cos(α).sin(β) ...(ii)
(i) + (ii) → 2.sin(α).cos(β) = sin(α + β) + sin(α – β)
(i) – (ii) → 2.cos(α).sin(β) = sin(α + β) – sin(α – β)
AIO perkalian perbandingan trigonometri:
2.cos(α).cos(β) = cos(α – β) + cos(α + β)
2.sin(α).sin(β) = cos(α – β) – cos(α + β)
2.sin(α).cos(β) = sin(α + β) + sin(α – β)
2.cos(α).sin(β) = sin(α + β) – sin(α – β)

6. Penjumlahan Perbandingan Trigonometri
Misal θ = ½(α + β) dan φ = ½(α – β), masukkan ke perkalian perbandingan trigonometri
2.cos(θ).cos(φ) = cos(θ – φ) + cos(θ + φ)
2.sin(θ).sin(φ) = cos(θ – φ) – cos(θ + φ), kalikan masing-masing ruas dengan –1
–2.sin(θ).sin(φ) = cos(θ + φ) – cos(θ – φ)
2.sin(θ).cos(φ) = sin(θ + φ) + sin(θ – φ)
2.cos(θ).sin(φ) = sin(θ + φ) – sin(θ – φ)
Ubah ke bentuk α dan β
θ + φ = ½(α + β) + ½(α – β) = ½(2α) = α
θ – φ = ½(α + β) – ½(α – β) = ½(2β) = β
sehingga diperoleh:

Contoh Soal
1. Suatu segitiga ABC dengan cos(A) = 3/5 dan cos(B) = 12/13, tentukan cos(C).
cos(A) = 3/5, dengan menggunakan rumus Pythagoras, sin(A) = 4/5
cos(B) = 12/13, dengan menggunakan rumus Pythagoras, sin(B) = 5/13
cos(A + B) = cos(A).cos(B) – sin(A).sin(B)
= (3/5).(12/13) – (4/5).(5/13)
= 36/65 – 20/65
= 16/65
Karena jumlah sudut segitiga adalah 180°
cos(C) = cos[180° – (A + B)]
= –cos(A + B)
= –16/65
Jadi, kosinus sudut C adalah –16/65.

2. Buktikan bahwa pada segitiga ABC berlaku:
tan(A) + tan(B) + tan(C) = tan(A).tan(B).tan(C)
Bukti:
tan(A) + tan(B) + tan(C) = tan(A) + tan(B) + tan[(180° − (A + B)]
= tan(A) + tan(B) − tan⁡(A + B)
= −tan(A).tan(B).tan⁡(A + B)
= tan(A).tan(B).tan[(180° − (A + B)]
= tan(A).tan(B).tan(C) ∎

3. Buktikan bahwa
Jika A + B + C + D = 180° maka cos⁡(𝐴).cos(𝐵) + cos(⁡𝐶).cos(⁡𝐷) = sin(⁡𝐴).sin(⁡𝐵) + sin(⁡𝐶).sin(⁡𝐷)
∴ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 180° → cos⁡(𝐴).cos(⁡𝐵) + cos(⁡𝐶).cos(⁡𝐷) = sin(⁡𝐴).sin(⁡𝐵) + sin(⁡𝐶).sin(⁡𝐷) ∎

4. Buktikan bahwa [1 − cot⁡(22°)][1 − cot⁡(23°)] = 2
[1 − cot⁡(22°)][1 − cot⁡(23°)]
= 1 − cot⁡(23°) − cot⁡(22°) + cot⁡(22°).cot⁡(23°)
= 1 + 1
= 2 ∎

5. Buktikan bahwa 
Jika 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 45°, maka cos(⁡2𝐴) + cos(⁡2𝐵) + cos(⁡2𝐶) = 4.cos⁡(45° − 𝐴).cos⁡(45° − 𝐵).cos⁡(45° − 𝐶)
Bukti:
cos⁡(2𝐴) + cos(⁡2𝐵) + cos(⁡2𝐶) = 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 − 𝐵) + cos(⁡2𝐶)
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 − 𝐵) + cos[⁡2(45° − (𝐴 + 𝐵))]
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 − 𝐵) + cos⁡[90° − 2(𝐴 + 𝐵)]
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 − 𝐵) + sin⁡[2(𝐴 + 𝐵)]
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 − 𝐵) + 2.sin⁡(𝐴 + 𝐵).cos⁡(𝐴 + 𝐵)
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).[cos⁡(𝐴 − 𝐵) + sin⁡(𝐴 + 𝐵)]
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).[cos⁡(𝐴 − 𝐵) + cos⁡(90° − (𝐴 + 𝐵))]
= 2.cos⁡(𝐴 + 𝐵).2.cos⁡(45° − 𝐵).cos⁡(45° − 𝐴)
= 4.cos⁡(45° − 𝐶).cos⁡(45° − 𝐵).cos⁡(45° − 𝐴)
= 4.cos⁡(45° − 𝐴).cos⁡(45° − 𝐵).cos⁡(45° − 𝐶) ∎

6. Buktikan bahwa cot(⁡𝑥).cot(⁡2𝑥) − cot(⁡2𝑥).cot(⁡3𝑥) − cot(⁡𝑥).cot(⁡3𝑥) = 1
= 1 ∎

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

2025: ONMIPA (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam)

Gambar
Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI) setiap tahun menyelenggarakan Olimpiade Nasional bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA-PT) untuk mengembangkan talenta dan prestasi mahasiswa di bidang sains, riset, dan teknologi. ONMIPA-PT merupakan salah satu upaya untuk memenuhi kebijakan Merdeka Belajar Kampus Merdeka (MBKM) dan Indeks Kinerja Utama (IKU) perguruan tinggi, yaitu memfasilitasi mahasiswa untuk berprestasi di berbagai kompetisi. ONMIPA-PT diharapkan dapat menumbuhkan kecintaan pada Matematika dan IPA, menemukan talenta-talenta terbaik di bidang ini, serta mendorong kualitas pembelajaran dan prestasi perguruan tinggi. ONMIPA-PT diselenggarakan untuk meningkatkan penguasaan Matematika dan IPA. Penguasaan MIPA penting untuk mendorong daya saing bangsa dalam pengembangan sains dan teknologi. ONMIPA-PT telah diselenggarakan sejak tahun 2009 dan terdiri dari tiga tahap seleksi, yaitu seleksi tingkat perguruan tinggi, tingkat wilayah, dan tingkat nas...
Read more »

Jarak Antara Dua Garis

Gambar
A. Jarak Nol 1. Jarak antara dua garis yang berhimpit adalah nol 2. Jarak antara dua garis yang berpotongan adalah nol B. Jarak Antara Dua Garis Sejajar Misal diberikan dua garis g dan h, cara untuk menentukan jarak antara keduanya adalah dengan mengambil sebarang titik yang terletak pada salahsatu garis (misalnya titik yang terletak pada garis g), lalu proyeksikan pada garis yang lain (garis h), jarak antara keduanya sama dengan panjang proyeksi tersebut. contoh: Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 5cm, BC = 4cm, AE = 3cm, titik P pada pertengahan AE dan titik Q pada pertengahan AB. Tentukan jarak dari PQ ke BE! PQ//BE karena keduanya terletak pada bidang ABFE, dan apabila keduanya diperpanjang tidak mungkin berpotongan. Proyeksikan titik Q ke garis BE, terletak pada titik Q'. Beberapa panjang sisi yang diperlukan: Kita dapat mencari panjang proyeksi dengan kesebangunan segitiga: (i) ∠PAQ = ∠BQ'Q karena siku-siku (ii) ∠PQA = ∠Q'BQ karena sehadap Jadi, segitiga PAQ...
Read more »