Induksi Matematika: Membuktikan Deret
1. Pengenalan Induksi Matematika
Matematika identik dengan aksioma, teorema dan definisi serta tak lepas dari berbagai macam rumus. Dari definisi atau rumus pun diperlukan adanya pembuktian kebenarannya. Membuktikan kebenaran suatu definisi dan rumus ada berbagai macam cara dan salah satunya adalah dengan menggunakan Induksi Matematika.
Induksi Matematika adalah salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika. Induksi matematik banyak digunakan untuk membuktikan kebenaran teorema-teorema yang berlaku untuk semua bilangan bulat atau lebih khusus untuk setiap bilangan asli.
2. Langkah-Langkah
Sebagai contoh, kita akan mencoba membuktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = ½n(n + 1)
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah sebagai berikut:
Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar.
p(1) adalah 1 = 1.(1 + 1)/2 = 1, jelas benar.
Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k + 1) benar.
Diasumsikan p(k) benar untuk suatu bilangan asli k,
yaitu 1 + 2 + 3 + … + k = ½k.(k + 1)
Dan ditunjukkan bahwa p(k + 1) benar yaitu,
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½(k + 1)(k + 2)
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :
1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)
= ½k(k+1) + (k+1)
= (k + 1)(½k + 1)
= ½(k + 1)(k + 2)
Sehingga p(k + 1) benar.
Dari langkah (1) dan (2), dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Langkah (1) sering disebut basis (dasar) untuk induksi, sedangkan langkah (2) disebut langkah induktif. Langkah induktif ini dapat dinyatakan sebagai kalimat implikasi sebagai berikut. “Jika p(n) benar maka p(n + 1) adalah benar untuk setiap bilangan asli n.”
3. Deret Aritmatika
Buktikan bahwa:
p(n): a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n − 1)b) = ½n.(2a + (n − 1)b), ∀n ∈ N
• Langkah Basis
Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1
p(1): a = ½.1.(2a + (1 − 1)b) = a, jelas benar
• Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k
p(k): a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (k − 1)b) = ½k.(2a + (k − 1)b)
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1
p(k + 1): a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (k − 1)b) + (a + kb) = ½k.(2a + (k − 1)b) + (a + kb)
= ½(2ak + k(k − 1)b) + ½(2a + 2kb)
= ½(2ak + (k² − k)b + 2a + 2kb)
= ½(2a(k + 1) + (k² + k)b)
= ½(2a(k + 1) + (k + 1)kb), berarti p(n) benar untuk n = k + 1
• Langkah Konklusi
Karena telah ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, dan telah diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
4. Deret Geometri
Buktikan bahwa:
p(n): a + ar + ar2 + ... + arn − 1 = a(rn − 1)/(r − 1), ∀n ∈ N
• Langkah Basis
Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1
p(1): a = a(r1 − 1)/(r − 1) = a, jelas benar
• Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k
p(k): a + ar + ar2 + ... + ark − 1 = a(rk − 1)/(r − 1)
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1
p(k + 1): a + ar + ar2 + ... + ark − 1 + ark = a(rk − 1)/(r − 1) + ark
= a(rk − 1)/(r − 1) + a(rk + 1 − rk)/(r − 1)
= a(rk + 1 − 1)/(r − 1), berarti p(n) benar untuk n = k + 1
• Langkah Konklusi
Karena telah ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, dan telah diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
Contoh Soal
1. Buktikan bahwa 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 untuk setiap n bilangan asli.
• Langkah Basis
Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1
p(1): 1² = 1.(1 + 1).(2.1 + 1)/6 = 1, jelas benar
• Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k
p(k): 1² + 2² + ... + k² = k(k + 1)(2k + 1)/6
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1
p(k + 1): 1² + 2² + ... + k² + (k + 1)² = k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)²
= k(k + 1)(2k + 1)/6 + 6(k + 1)²/6
= [(k + 1)(2k² + k) + (6k + 6)(k + 1)]/6
= (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6
= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6, berarti p(n) benar untuk n = k + 1
• Langkah Konklusi
Karena telah ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, dan telah diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
2. Buktikan bahwa
p(n): (1 − 1/2).(1 − 1/3).(1 − 1/4)...(1 − 1/n) = 1/n, (∀n ≥ 2, n ∈ N)
• Langkah Basis
Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 2
p(2): 1 − 1/2 = 1/2, jelas benar
• Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k
p(k): (1 − 1/2).(1 − 1/3).(1 − 1/4)...(1 − 1/k) = 1/k
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1
p(k + 1): (1 − 1/2).(1 − 1/3).(1 − 1/4)...(1 − 1/k).(1 − 1/(k + 1)) = (1/k).(1 − 1/(k + 1))
= (1/k).(k/(k + 1))
= 1/(k + 1), berarti p(n) benar untuk n = k + 1
• Langkah Konklusi
Karena telah ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 2, dan telah diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
Catatan: Langkah basis tidak selalu p(1), disesuaikan dengan soal. Pada kasus ini, langkah basisnya adalah p(2), yang mana di soal disebutkan (∀n ≥ 2, n ∈ N).
3. Buktikan bahwa 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² untuk setiap n bilangan asli.
• Langkah Basis
Tunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1
p(1): 1³ = 1² = 1, jelas benar
• Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k
p(k): 1³ + 2³ + ... + k³ = (1 + 2 + ... + k)²
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1
p(k + 1): 1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)³
= (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)²(k + 1)
= (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)² + k(k + 1)²
= (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)² + 2(k + 1).[k(k + 1)/2]
Ingat kembali bahwa 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2
= (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)² + 2(k + 1).(1 + 2 + ... + k)
Ingat kembali bahwa a² + b² + 2ab = (a + b)²
= (1 + 2 + ... + k + (k + 1))², berarti p(n) benar untuk n = k + 1
• Langkah Konklusi
Karena telah ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, dan telah diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
Berikut video induksi matematika Part 1:
Berikut video induksi matematika Part 2:
Komentar
Posting Komentar