Integral Lipat Tiga di Koordinat Kartesius

1. Integral Lipat Tiga pada Daerah Berbentuk Balok

Pertimbangkan suatu fungsi f dari tiga variabel yang didefinisikan pada daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar dengan bidang koordinat. Kita tidak dapat lagi menggambar grafik f (diperlukan empat dimensi), tetapi kita dapat membayangkan B. Bentuklah partisi P dari B dengan melewatkan bidang-bidang melalui B yang sejajar dengan bidang koordinat, sehingga memotong B menjadi balok-balok kecil B₁, B₂, ..., B_n; sebuah balok kecil yang tipikal, B_k. Pada B_k, pilihlah sebuah titik sampel (x̄_k, ȳ_k, z̄_k) dan pertimbangkan jumlah Riemann.

di mana ΔV_k = Δx_kΔy_kΔz_k adalah volume dari B_k. Misalkan norma partisi ‖P‖ adalah panjang diagonal terpanjang dari semua balok bagian. Kemudian kita definisikan integral rangkap tiga dengan

dengan syarat limit ini ada.

Contoh:

Misal diberikan f(x, y, z) = x²yz diatas balok B = {(x, y, z): 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}, tentukan integral lipat tiga dari fungsi f diatas balok B.

2. Integral Lipat Tiga atas Daerah Bukan Balok

Pertimbangkan himpunan tertutup dan terbatas S dalam ruang tiga dimensi dan letakkan di dalam sebuah kotak B. Misalkan f(x, y, z) didefinisikan pada S, dan berikan nilai nol untuk f di luar S. Maka kita definisikan

Integral di sebelah kanan telah didefinisikan pada pembahasan awal, tetapi itu tidak berarti mudah untuk dievaluasi. Bahkan, jika himpunan S cukup rumit, kita mungkin tidak dapat melakukan evaluasi.

Misalkan S adalah himpunan z-sederhana (garis vertikal memotong S dalam satu ruas garis), dan misalkan S_xy adalah proyeksi S pada bidang XOY. Maka

Jika, di samping itu, S_xy adalah himpunan y-sederhana, kita dapat menulis ulang integral rangkap luar sebagai integral berulang.

Urutan integrasi lainnya mungkin bisa dilakukan, tergantung pada bentuk S, tetapi dalam setiap kasus kita harus mengharapkan batas-batas pada integral bagian dalam menjadi fungsi dari dua variabel, batas-batas pada integral bagian tengah menjadi fungsi dari satu variabel, dan batas-batas pada integral bagian luar menjadi konstanta.

Contoh:

Secara geometris, nilai integral rangkap tiga dari w = f(x, y, z) atas bangun ruang S merupakan volume dari bangun ruang S bila f(x, y, z) = 1.

Contoh:

Hitung volume bangun ruang G yang terletak di oktant pertama dibatasi oleh y = 2x² dan y + 4z = 8.

S = {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x², 0 ≤ z ≤ (8 – y)/4}

3. Massa dan Pusat Massa

Misal suatu benda tiga dimensi S dengan rumus densitasnya δ(x, y, z), kita dapat menentukan massa benda tersebut sebagai:

Untuk menentukan pusat massa, kita perlu menentukan terlebih dahulu momen terhadap ketiga bidang utama, misal M_xy, M_xz, M_yz berturut-turut adalah momen terhadap bidang XOY, XOZ, dan YOZ, kita dapat menentukan momennya dengan rumus:

Kita dapat menentukan pusat massa (x̄, ȳ, z̄) sebagai momen dibagi massa:

Contoh:

Tentukan massa dan pusat massa dari benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi oleh silinder parabolis z = 2 – ½x² dan bidang y = x, dengan densitasnya 1.

S = {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 2 – ½x²}, δ(x, y, z) = 1

Massanya adalah