Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

1. Kelipatan Persekutuan dan Kelipatan Persekutuan Terkecil

A. Kelipatan Persekutuan

Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. m adalah kelipatan persekutuan dari a dan b jika a | m dan b | m.

B. Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m, ditulis [a, b] = m, bila memenuhi:

(i) a | m dan b | m

(ii) Jika a | c dan b | c maka m ≤ c.

2. Keterbagian Kelipatan Persekutuan

Jika c adalah suatu kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat yang tidak nol a dan b, maka KPK dari a dan b membagi habis c, yaitu [a, b] | c.

Bukti:

Andaikan m ∤ c maka menurut Algoritma Pembagian, ∃ bilangan-bilangan bulat q dan r  ∋  c = qm + r , dengan  0 < r < m.

Karena c adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, maka a | c dan b | c.

Dan karena [a, b] = m maka a | m dan b | m.

a | m  maka a | qm dan karena a | c, maka a | (c − qm). Hal berarti bahwa a | r.

b | m maka b | qm dan karena b | c, maka b | (c − qm). Berarti bahwa b | r.

Oleh karena a | r dan b | r maka r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.

Tetapi karena [a, b] = m dan 0 < r < m, maka hal ini tidak mungkin (Kontradiksi).

Jadi pengandaian di atas tidak benar. Berarti m | c atau [a, b] | c. ∎

3. Satu untuk Semua

Jika m bilangan asli, maka [ma, mb] = m.[a, b]

Bukti:

Misalkan [a, b] = d  berarti a | d dan b | d, sehingga am | dm dan bm | dm

Ini berarti dm ∈ K(ma, mb)

Misal [ma, mb] = pm, berarti pm | dm, sehingga p | d, yang berarti p ≤ d (i)

Selain itu, ma | pm dan mb | pm, sehingga a | p dan b | p

Ini berarti p ∈ K(a, b), dan karena [a, b] = d, berlaku d | p, yang berarti d ≤ p (ii)

Karena p ≤ d dan d ≤ p, diharuskan d = p

Sehingga [ma, mb] = m.p = m.d = m.[a, b] ∎

4. Hubungan FPB dan KPK

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka [a, b].(a, b) = a.b

Bukti:

Untuk (a, b) = 1:

berarti a dan b saling koprim dan [a, b] = a.b

Untuk (a, b) = d:

(a/d, b/d) = 1, sehingga [a/d, b/d] = (a/d).(b/d) = ab/d²

[a, b] = d[a/d, b/d] = ab/d ↔ [a, b].d = [a, b].(a, b) = a.b ∎

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa (a, b) | [a, b]

Bukti:

Misalkan:

(a, b) = m, berarti m | a dan m | b

[a, b] = n, berarti a | n dan  b | n

Perhatikan bahwa :

m | a  dan  a | n  maka  m | n

m | b  dan b | n  maka  m | n

Dengan demikian  m | n.

Sehingga (a, b) | [a, b] ∎

2. Buktikan bahwa [a, b] = (a, b) jika dan hanya jika a = b

Bukti:

(i) Jika [a, b] = (a, b)  maka  a = b

Misalkan:

[a, b] = m, berarti a | m dan  b | m, karena [a, b] = (a, b) maka

(a, b) = m, berarti m | a dan m | b

Perhatikan bahwa:

a | m  dan m | b  maka  a | b

b | m  dan m | a  maka  b | a

Karena a | b dan b | a, diharuskan a = b

(ii) Jika a = b  maka [a, b] = (a, b)

Jika a = b maka [a, b] = [a, a] = a dan (a, b) = (a, a) = a

Berarti bahwa [a, b] = (a, b).

Karena (i) dan (ii) telah terbukti, maka telah dibuktikan bahwa:

[a, b] = (a, b) jika dan hanya jika a = b ∎

3. Buktikan bahwa [a, b] = b jika dan hanya jika a | b

Bukti:

(i) Jika [a, b] = b maka a | b

Sesuai dengan definisi KPK dari dua bilangan bulat a dan b, yaitu:

[a, b] = b bila memenuhi :

a | b dan b | b dan (ii) jika a | c dan b | c maka b ≤ c.

Dengan demikian jelas bahwa jika [a, b] = b maka a | b.

(ii) Jika a | b maka [a, b] = b

a | b, berarti (a, b) = a

Ingat kembali hubungan FPB dan KPK, dimana [a, b].(a, b) = a.b

Karena (a, b) = a

[a, b].a = a.b, bagi masing-masing ruas dengan a (hal ini boleh karena masing-masing ruas habis dibagi oleh a)

[a, b] = b

Karena (i) dan (ii) telah terbukti, maka telah dibuktikan bahwa:

[a, b] = b jika dan hanya jika a | b ∎

4. Buktikan bahwa jika d | (a, b) maka d | [a, b]

(i) Diketahui d | (a, b)

Misalkan (a, b) = c, berarti c | a dan c | b

Karena d | (a, b) atau d | c, maka:

berdasarkan sifat transitif keterbagian, diperoleh:

d | c dan c | a, maka d | a

d | c dan c | b, maka d | b

(ii) Misalkan [a, b] = m, maka a | m dan b | m

Sehingga berdasarkan sifat transitif keterbagian diperoleh:

d | a dan a | m, maka d | m

d | b dan b | m, maka d | m

∴ Hal ini berarti d | m atau d | [a, b] ∎

5. Buktikan bahwa Jika c suatu kelipatan persekutuan dari a dan b maka (a, b) | c

𝑐 ∈ 𝐾(𝑎,𝑏), berarti a | c dan b | c

Misalkan (a, b) = d berarti d | a dan d | b

Berdasarkan sifat transitif keterbagian, maka diperoleh:

d | a dan a | c maka d | c

d | b dan b | c maka d | c

Dengan demikian d | c

D.k.l (a,b) | c ∎