Keterbagian Bilangan Bulat

1. Definisi

Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b, dengan a ≠ 0 (ditulis a | b) bila dan hanya bila ∃k ∈ Z sehingga b = ak.

Jika a tidak membagi habis b maka dituliskan a ∤ b

Contoh:    6 | 24 karena terdapat bilangan bulat k sehingga 6k = 24, yaitu k = 4.

3 ∤ 17 karena tidak ada bilangan bulat k sehingga 3k = 17

Dalam hal ini,

a =  faktor dari b atau pembagi b

b =  kelipatan a

k =  hasil bagi b oleh a atau faktor b komplemen a.

a | b, disebut sebagai:

a membagi habis b

b terbagi habis oleh a

a adalah faktor dari b

a adalah pembagi b

b adalah kelipatan dari a

2. Pembagian Bersisa

A. Algoritma Pembagian

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal pasangan bilangan bulat q dan r yang memenuhi

b = qa + r, dengan 0 ≤ r < a

Bilangan bulat q dan r berturut turut disebut sebagai hasil bagi dan sisa bagi.

B. Pembagian Bersisa

a ∤ b dapat pula dituliskan bahwa b = a.q + r dengan 0 < r < a

q = hasil bagi

r = sisa pembagian a terhadap b.

dalam hal ini, ⌊b/a⌋ = q.

3. Sifat Refleksif

"a | a"

Hal ini karena ∃k ∈ Z ∋ a = ak, yaitu k = 1. ∎

4. Sifat Semi-Antisimetrik

Jika a | b dan b | a maka a = ± b

Bukti:

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = ak (i)

b | a berarti ∃m ∈ Z ∋ a = bm (ii)

Masukkan (i) ke (ii)

a = ak.m, bagi masing-masing ruas dengan a (hal ini dibolehkan karena masing-masing ruas habis dibagi oleh a).

1 = km

Bilangan bulat yang memenuhi km = 1 hanyalah k = m = ±1, masukkan ke (ii)

Untuk m = 1 → a = b

Untuk m = −1 → a = −b 

∴ (a | b ∧ b | a) → (a = b ∨ a = −b) ∎

5. Sifat Transitif

Jika a | b dan b | c maka a | c

Bukti:

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = ak (i)

b | c berarti ∃m ∈ Z ∋ c = bm (ii)

Masukkan (i) ke (ii)

c = a.(km)

Ingat bahwa operasi perkalian bilangan bulat bersifat tertutup, sehingga jika k ∈ Z dan m ∈ Z maka km ∈ Z. Ini berarti a | c. ∎

6. Sifat Pengalian Kanan

Untuk setiap a, b, m ∈ Z berlaku:

Jika a | b maka a | mb

Bukti:

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = ak, kalikan masing-masing ruas dengan m

mb = a(km)

Ingat bahwa operasi perkalian bilangan bulat bersifat tertutup, sehingga jika k ∈ Z dan m ∈ Z maka km ∈ Z. Ini berarti a | mb. ∎

Catatan: Pernyataan ini tidak berlaku kebalikan.

7. Sifat Linearitas

Untuk setiap a, b, c, m, n ∈ Z berlaku:

Jika a | b dan a | c maka a | (mb + nc)

Bukti:

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = ak (i)

a | c berarti ∃k ∈ Z ∋ c = al (ii)

m.(i) + n.(ii) = mb + nc = a(km + ln)

Ingat bahwa operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat bersifat tertutup.

Ini berarti a | (mb + nc) ∎

Kasus khusus yang trivial:

Untuk m = 1 dan n = 1, berarti a | (b + c)

Untuk m = 1 dan n = −1, berarti a | (b − c)

8. Sifat Pembandingan

Untuk setiap a dan b bilangan asli berlaku:

Jika a | b maka a ≤ b

Bukti:

a | b berarti b = a.k

a dan b bilangan bulat positif, berarti k bilangan bulat positif, karena operasi perkalian bilangan asli bersifat tertutup.

untuk k = 1 berarti b = a

untuk k > 1 berarti b > a ↔ a < b

Dengan kata lain jika a | b dengan a dan b bilangan bulat positif maka a ≤ b ∎

9. Sifat Pengalian Dua Ruas

Untuk setiap a, b, m ∈ Z dengan m ≠ 0 berlaku:

a | b jika dan hanya jika ma | mb

Bukti:

(i) Jika a | b maka ma | mb

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = ak, kalikan kedua ruas dengan m

mb = k.(ma)

Sehingga dikatakan bahwa ma | mb.

(ii) Jika ma | mb maka a | b.

ma | mb berarti ∃k ∈ Z ∋ mb = (ma)k, bagi kedua ruas dengan m (hal ini dibolehkan karena kedua ruas habis dibagi oleh m).

b = ak

Sehingga dikatakan bahwa a | b. ∎

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa: Jika a | b dan a | (b + c) maka a | c.

a | b  berarti  ∃ k bilangan bulat ∋ b = ak

a | (b + c) berarti ∃ l bilangan bulat ∋ (b + c) = al

Sehingga (b + c) – b = c = a.(l – k) yang berarti a | c. ∎

2. Buktikan bahwa: Jika a | b dan c | d maka ac | bd.

a | b  berarti  ∃ m bilangan bulat ∋ b = am

c | d  berarti  ∃ n  bilangan bulat ∋ d = cn

Sehingga diperoleh:

bd = (am).(cn) = (ac).(mn)

Karena (mn) bilangan bulat maka ac | bd. ∎

3. Buktikan bahwa jika a | b dan a | c maka a² | bc

a | b berarti ∃k ∈ Z ∋ b = a.k

a | c berarti ∃l ∈ Z ∋ c = a.l

Sehingga diperoleh

bc = (ak).(al) = a².(kl), yang berarti a² | bc ∎

4. Buktikan bahwa 6 | (a³ – a) , untuk setiap bilangan bulat a

a³ – a = (a + 1).a.(a – 1), dalam bentuk faktorial:

Sehingga kita mendapati bahwa a³ – a = 6.C(a + 1, 3)

Ingat kembali bahwa koefisien binomial adalah bilangan bulat.

Jadi, 6 | (a³ – a) ∎

5. Buktikan bahwa 8 | 3^2m + 7, untuk setiap m bilangan asli

3^2m + 7 = 9^m + 7 = (1 + 8)^m + 7

Dalam bentuk binomial:

Perhatikan bahwa semua suku habis dibagi oleh 8, kecuali suku:

C(m, 0) dan + 7

Sehingga kita bisa memisalkannya

C(m, 0) + 8K + 7

= 1 + 8K + 7

= 8K + 8, yang mana setiap sukunya habis dibagi oleh 8

Jadi, 8 | 3^2m + 7 ∎