Koefisien Binomial

1. Bentuk Perpangkatan

Secara umum dapat dituliskan:

Dapat disingkat menjadi:

Kasus khusus untuk a = 1 dan b = x, menjadi:

2. Kasus Khusus Untuk a = 1 dan b = 1

Jumlah semua koefisien binomial C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2ⁿ.

3. Sifat Simetrik

Kombinasi C(n, k) = C(n, n − k).

4. Pembentukan Segitiga Pascal

C(n − 1, k) + C(n − 1, k − 1) = C(n, k)

Kita bisa melihat ini pada segitiga Pascal.

5. Hasil Kali Rantai

Misal diberikan bilangan asli n > m > k

Jadi, untuk n, m, dan k bilangan asli dengan n > m > k, berlaku:

Kasus khusus untuk k = 1:

6. Beberapa Deret Binomial

A. Deret Hockey Stick

C(k, k) + C(k + 1, k) + C(k + 2, k) + ... + C(n, k)

B. Deret C(k, 0) + C(k + 1, 1) + C(k + 2, 2) + ... + C(k + r, r)

C. Deret Kuadrat

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa

Masukkan a = 1 dan b = −1 ke rumus perpangkatan

Ingat kembali kasus khusus perpangkatan untuk a = 1 dan b = 1:

2. Buktikan bahwa

Untuk membuktikannya, ingat kembali bahwa

C(n − 1, k) + C(n − 1, k − 1) = C(n, k)
Sehingga pada kasus ini, 

C(2n, n) + C(2n, n − 1) = C(2n + 1, n)

Ingat kembali sifat simetrik

C(2n + 1, n) = C(2n + 1, n + 1)

Tambahkan masing-masing ruas dengan C(2n + 1, n)

C(2n + 1, n) + C(2n + 1, n) = C(2n + 1, n + 1) + C(2n + 1, n)

2.C(2n + 1, n) = C(2n + 2, n + 1)

Jadi,

2[C(2n, n) + C(2n, n − 1)] = C(2n + 2, n + 1), bagi masing-masing ruas dengan 2

C(2n, n) + C(2n, n − 1) = ½.C(2n + 2, n + 1) ∎

3. Nyatakan jumlahan berikut dalam notasi kombinasi

0.1.2.3 + 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + (n − 1)n(n + 1)(n + 2)

Perhatikan, suku pertama adalah 0, sehingga:

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + (n − 1)n(n + 1)(n + 2)

Dalam bentuk faktorial:

Dalam bentuk kombinasi:

Sehingga:

Ingat kembali deret:

C(k, k) + C(k + 1, k) + C(k + 2, k) + ... + C(n, k) = C(n + 1, k + 1)

Sehingga:

0.1.2.3 + 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + (n − 1)n(n + 1)(n + 2) = 24.C(n + 3, 5)

Berikut video Teori Binomial: