Nilai Perbandingan Trigonometri dan Sudut Berelasi

1. Sudut Istimewa
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30°, 45°, dan 90°.
A. Sudut 30° dan 60° (Belahan Segitiga Samasisi)
Sebagaimana segitiga samakaki, segitiga samasisi dapat dibagi menjadi 2 segitiga siku-siku yang kongruen. Sudut-sudutnya adalah 90° (sudut siku-siku), 60° (sudut segitiga samasisi), dan 30° (sisa sudut). Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh perbandingan sisi miring (yang merupakan sisi segitiga samasisi) : sisi yang berhadapan dengan sudut 60° (yang merupakan tinggi segitiga samasisi) : sisi yang berhadapan dengan sudut 30° adalah 2 : √3 : 1.
(i) perbandingan trigonometri untuk sudut 30°
(ii) perbandingan trigonometri untuk sudut 60°
B. Sudut 45° (Segitiga Siku-Siku Samakaki)
Salah satu kasus istimewa segitiga siku-siku adalah segitiga siku-siku samakaki. Sisi yang panjangnya berbeda adalah sisi miringnya, dan sudut yang berbeda adalah sudut siku-siku. Dikarenakan jumlah sudut segitiga adalah 180°, dapat dipastikan kedua sudut lainnya (selain siku-siku) adalah 45°. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh perbandingan panjang sisinya adalah 1:1:√2, dengan sisi terpanjang √2 kali panjang sisi lainnya.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa:

2. Nilai Perbandingan Trigonometri di Masing-Masing Kuadran
Ingat kembali bahwa:
Ingat kembali:
Perlu diketahui bahwa nilai r selalu positif, sehingga positif atau negatif nya suatu perbandingan trigonometri ditentukan oleh x dan y.
Ilustrasi:

Oleh karena itu, perbandingan trigonometri yang bernilai positif di masing-masing kuadran adalah:
Kuadran I: Semua positif
Kuadran II: Sinus dan Kosekan
Kuadran III: Tangen dan Kotangen
Kuadran IV: Cosinus dan Sekan
Ingat yang positif: All, Sin, Tan, Cos, dapat disingkat menjadi ASTC
Kita dapat menyusun kata-kata ASTC untuk mempermudah mengingatnya, contoh:
Aku Suka Tahu Coklat, atau
Add Sugar To Coffee, seferti di video #shorts berikut:
atau "Semua Sindikat Tangannya Kosong":
dan lain-lain.

3. Sudut-Sudut yang Berelasi dan Perbandingan Trigonometri nya
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (90° – α)
Sudut α dan sudut (90° – α) simetris terhadap garis y = x.
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(y, x) = P'(r, 90° – α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(90° – α) = cos(α),    csc(90° – α) = sec(α)
cos(90° – α) = sin(α),    sec(90° – α) = csc(α)
tan(90° – α) = cot(α),    cot(90° – α) = tan(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (90° + α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(y, x) = P'(r, 90° – α), titik ini dicerminkan terhadap sumbu y, bayangannya adalah
P''(x'', y'') = P''(y, –x) = P''(r, 90° + α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(90° + α) = –cos(α),    csc(90° + α) = –sec(α)
cos(90° + α) = sin(α),    sec(90° + α) = csc(α)
tan(90° + α) = –cot(α),    cot(90° + α) = –tan(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (180° – α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap sumbu y, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(–x, y) = P'(r, 180° – α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(180° – α) = sin(α),    csc(180° – α) = csc(α)
cos(180° – α) = –cos(α),    sec(180° – α) = –sec(α)
tan(180° – α) = –tan(α),    cot(180° – α) = –cot(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (180° + α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap titik O(0, 0), bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(–x, –y) = P'(r, 180° + α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(180° + α) = –sin(α),    csc(180° + α) = –csc(α)
cos(180° + α) = –cos(α),    sec(180° + α) = –sec(α)
tan(180° + α) = tan(α),    cot(180° + α) = cot(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (270° – α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap garis y = –x, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(–y, –x) = P'(r, 270° – α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(270° – α) = –cos(α),    csc(270° – α) = –sec(α)
cos(270° – α) = –sin(α),    sec(270° – α) = –csc(α)
tan(270° – α) = cot(α),    cot(270° – α) = tan(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (270° + α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap garis y = x, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(–y, –x) = P'(r, 270° – α), titik ini dicerminkan terhadap sumbu y, bayangannya adalah
P''(x'', y'') = P''(–y, x) = P''(r, 270° + α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(270° + α) = cos(α),    csc(270° + α) = sec(α)
cos(270° + α) = –sin(α),    sec(270° + α) = –csc(α)
tan(270° + α) = –cot(α),    cot(270° + α) = –tan(α)
• Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut (–α)
Misal titik P(x, y) = P(r, α) dicerminkan terhadap sumbu x, bayangannya adalah
P'(x', y') = P'(x, –y) = P'(r, –α), sehingga perbandingan trigonometrinya menjadi:
sin(–α) = –sin(α),    csc(–α) = –csc(α)
cos(–α) = cos(α),    sec(–α) = sec(α)
tan(–α) = –tan(α),    cot(–α) = –cot(α)

4. Sudut Istimewa di Semua Kuadran
Tabel nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa di semua kuadran


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Gambar
Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial. Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y)...
Read more »

Transformasi Linear Satu-Satu, Sifat Linear, Matriks Standar

Gambar
1. Transformasi Linear Satu-Satu Transformasi linear T: ℝⁿ → ℝᵐ dikatakan satu-satu jika T memetakan vektor (atau titik) yang berbeda di ℝⁿ ke vektor (atau titik) yang berbeda di ℝᵐ. Catatan: Dari definisi ini, kita dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap vektor w dalam range (jangkauan) dari suatu transformasi linear satu-satu T, terdapat tepat satu vektor x sedemikian sehingga T( x ) = w . Transformasi linear yang memetakan vektor (atau titik) yang berbeda ke vektor (atau titik) yang berbeda memiliki kepentingan khusus. Salah satu contoh transformasi seperti itu adalah operator linear T: ℝ² → ℝ² yang merotasi setiap vektor melalui sudut θ. Secara geometris jelas bahwa jika u dan v adalah vektor berbeda di ℝ², maka vektor yang dirotasi T( u ) dan T( v ) juga berbeda. 2. Pernyataan yang Ekivalen Misalkan A adalah matriks berukuran n × n, dan kita definisikan transformasi linear T A : ℝⁿ → ℝⁿ sebagai perkalian dengan A. Kita akan menyelidiki hubungan antara invertibilitas matriks ...
Read more »