Operasi Bilangan Kompleks dan Dalil De Moivre

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, kita dapat dengan mudah melakukan penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks.

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dengan menjumlahkan ataupun mengurangkan bagian yang bertepatan, bagian real dengan bagian real dan bagian kompleks dengan bagian kompleks.

2. Perkalian

A. Perkalian bentuk standar

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, hasil kalinya adalah:

z₁z₂ = (a + bi)(c + di)

= ac + adi + bci + bdi²

= ac − bd + (ad + bc)i

B. Perkalian bentuk polar

Misal z₁ = r₁.cis(θ₁) dan z₂ = r₂.cis(θ₂), hasil kalinya adalah:

z₁z₂ = r₁.r₂.cis(θ₁).cis(θ₂)

= r₁.r₂.[cos(θ₁) + i.sin(θ₁)].[cos(θ₂) + i.sin(θ₂)]

= r₁.r₂.[cos(θ₁).cos(θ₂) + i.cos(θ₁).sin(θ₂) + i.sin(θ₁).cos(θ₂) + i².sin(θ₁).sin(θ₂)]

= r₁.r₂.[cos(θ₁).cos(θ₂) − sin(θ₁).sin(θ₂) + i(sin(θ₁).cos(θ₂) + cos(θ₁).sin(θ₂))]

= r₁.r₂.[cos(θ₁ + θ₂) + i.sin(θ₁ + θ₂)]

= r₁.r₂.cis(θ₁ + θ₂)

C. Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya

Misal z = a + bi, z̄ = a − bi

zz̄ = (a + bi)(a − bi)

= a² − abi + abi + b²

= a² + b²

= |z|²

= r²

3. Invers

A. Invers bilangan kompleks bentuk standar

Misal z = a + bi, invers dari z adalah:

z⁻¹ = 1/z, kalikan masing-masing dengan z̄

= z̄/(zz̄)

= z̄/r²

= (a − bi)/(a² + b²)

B. Invers bilangan kompleks bentuk polar

Misal z = r.cis(θ)

Ingat kembali z⁻¹ = z̄/r²

z⁻¹ = r.cis(−θ)/r² = (1/r).cis(−θ)

4. Pembagian

A. Pembagian bilangan kompleks bentuk standar

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, hasil baginya adalah:

z₁/z₂ = z₁z₂⁻¹ 

= (a + bi)(c − di)/(c² + d²)

= (ac + bd + i(bc − ad))/(c² + d²)

B. Pembagian bilangan kompleks bentuk polar

Misal z₁ = r₁.cis(θ₁) dan z₂ = r₂.cis(θ₂), z₂⁻¹ = (1/r₂).cis(−θ₂) hasil baginya adalah:

z₁/z₂ = z₁z₂⁻¹ 

= (r₁/r₂).cis(θ₁ − θ₂)

5. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Kompleks

A. Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian

z₁ + z₂ = z₂ + z₁ 

z₁z₂ = z₂z₁ 

B. Sifat Asosiatif Penjumlahan dan Perkalian

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

(z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)

C. Sifat Distributif

z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃ 

z₁(z₂ − z₃) = z₁z₂ − z₁z₃ 

D. Identitas Penjumlahan

z + 0 = 0 + z = z

E. Identitas Perkalian

z.1 = 1.z = z

6. Sifat-Sifat Modulus dan Konjugat

a. Modulus perkalian

|z₁z₂| = |z₁|.|z₂|

b. Ketaksamaan bagian real dan imajiner

Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|

Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|

c. Modulus pembagian

|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

d. Dobel konjugat

z̄ ̅ = z

e. Modulus konjugat

|z̄| = |z|

f. Satu untuk semua

g. Bagian real dan imajiner

h. Ketaksamaan segitiga
||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ − z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

|z₁ + z₂ + ... + z_n| ≤ |z₁| + |z₂| + ... + |z_n|

7. Dalil De Moivre

Ingat kembali bahwa:

Misal z₁ = r₁.cis(θ₁) dan z₂ = r₂.cis(θ₂), hasil kalinya adalah

z₁z₂ = r₁.r₂.cis(θ₁ + θ₂)

Kita bisa memperluasnya menjadi

z₁z₂...z_n = r₁.r₂...r_n.cis(θ₁ + θ₂ + ... + θ_n)

Kasus khusus dimana z₁ = z₂ = ... = z_n = z

zⁿ = rⁿ.cis(nθ)

Bentuk terakhir ini disebut sebagai Dalil De Moivre

zⁿ = rⁿ.cis(nθ)

[r.cis(θ)]ⁿ = rⁿ.cis(nθ)

Jadi, untuk n bilangan bulat positif berlaku [r.cis(θ)]ⁿ = rⁿ.cis(nθ)

• Apakah berlaku untuk n = 0, perhatikan:

r⁰.cis(0.θ) = 1.(cos(0) + i.sin(0)) = 1.(1 + 0) = 1 = [r.cis(θ)]⁰ 

Jadi, dalil De Moivre juga berlaku untuk n = 0, sehingga berlaku untuk semua n bilangan cacah.

• Apakah berlaku untuk n bilangan bulat negatif?, perhatikan:

Misal m bilangan bulat positif dan n = −m.

[r.cis(θ)]ⁿ = [r.cis(θ)]^-m 

= [(r.cis(θ))^-1]^m 

= [z^-1]^m 

= [(1/r).cis(−θ)]^m 

= [r^-1.cis(−θ)]^m 

= r^-m.cis(−mθ)

= rⁿ.cis(nθ)

Jadi, dalil De Moivre juga berlaku untuk n negatif, sehingga berlaku untuk semua n bilangan bulat.

• Apakah berlaku untuk n bilangan rasional?

Misal n = p/q dengan p bilangan bulat dan q bilangan bulat taknol.

[r.cis(θ)]ⁿ = [r.cis(θ)]^p/q 

= r^p/q.[cis(θ)]^p/q 

Misal θ = qφ

= r^p/q.[cis(qφ)]^p/q 

= r^p/q.[cis(φ)]^p 

= r^p/q.cis(pφ)

= r^p/q.cis(p.θ/q)

= r^p/q.cis((p/q).θ)

= rⁿ.cis(nθ)

Jadi, dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan rasional.

Lebih lanjut, pada rumus Euler, kita mendapati bahwa dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan real.

Contoh Soal

1. Diberikan z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 5 − 4i. Tentukan hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagiannya.

z₁ + z₂ = (2 + 5) + (3 − 4)i = 7 − i

z₁ − z₂ = (2 − 5) + (3 + 4)i = −3 + 7i

z₁z₂ = 2.5 − 3.(−4) + (2.5 + 4.(−3))i = 22 − 2i

z₁/z₂ = (2.5 + 3.(−4) + i(3.5 − 2.(−4)))/(5² + (−4)²) = (−2 + 23i)/41 = −2/41 + (23/41)i

2. Tentukan semua solusi dari zⁿ = 1, dengan n bilangan asli

zⁿ = 1

zⁿ = cis(2kπ)

z = cis(2kπ/n), dengan k bilangan bulat