Penggantian Variabel Integral Lipat dan Transformasi Jacobian

1. Fungsi Injektif dan Invers

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan injektif (satu-satu) jika elemen yang berbeda x dan y di A dipetakan ke elemen yang berbeda f(x) dan f(y) di B. Fungsi f dikatakan surjektif (onto) jika daerah hasilnya sama dengan seluruh himpunan B. Suatu fungsi f yang satu-satu dan onto dijamin memiliki fungsi invers f⁻¹. ℝ² menyatakan himpunan semua pasangan terurut bilangan real.

Rumus-rumus

dx dy = r dr dθ

dx dy dz = r dz dr dθ

dx dy dz = ρ² sin φ dρ dθ dφ

adalah kasus khusus dari rumus perubahan variabel. Rumus-rumus ini menggambarkan hasil umum yang akan kita bahas. Sebelum menyajikan hasil untuk integral lipat, kita akan mengulas kembali konsep perubahan variabel, atau substitusi, untuk integral tunggal.

Misal g fungsi injektif satu variabel, g memiliki invers g⁻¹ dan ingat kembali substitusi integral:

menukar peran x dan u membolehkan kita menuliskan:

Rumus terakhir ini dapat dilihat sebagai hasil dari melakukan substitusi x = g(u).

2. Transformasi dari bidang UV ke XY

Misal x = x(u, v) dan y = y(u, v), dan misalkan G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)).

Fungsi G adalah fungsi bernilai vektor dengan input vektor. Fungsi seperti itu disebut transformasi dari R² ke R². Pasangan terurut (x, y) = G(u, v) disebut peta dari (u, v) di bawah transformasi G, dan (u, v) disebut prapeta dari (x, y). Peta dari suatu himpunan S dalam bidang uv sama dengan himpunan titik (x, y) dalam bidang xy yang memenuhi (x, y) = G(u, v), di mana (u, v) berada dalam S. Fungsi G tidak dapat digambarkan dengan cara biasa karena akan membutuhkan empat dimensi. Sebagai gantinya, kita mengilustrasikan fungsi tersebut sebagai pemetaan dari titik-titik dalam bidang uv ke titik-titik dalam bidang xy. 

Peta dari garis vertikal dalam bidang uv disebut kurva-u dari G (garis vertikal dalam bidang uv memiliki bentuk u = konstanta). Analognya, peta dari garis horisontal disebut kurva-v dari G.

3. Transformasi Jacobian untuk Integral Tunggal

Ketika melakukan perubahan variabel dalam sebuah integral tunggal, kita harus memperhatikan:

a. Fungsi integran f(x)

b. Diferensial dx

c. Batas-batas integral.

Secara umum, transformasi Jacobian hanya dapat dilakukan untuk transformasi injektif, baik integral tunggal maupun integral lipat, berapapun lipatannya. Banyak variabel asal harus sama dengan banyak variabel tujuan, sehingga banyak lipatannya akan sama. Berikut transformasi Jacobian untuk integral tunggal:

dimana J(u) yang disebut Jacobian adalah 𝜕𝑥/𝜕𝑢.

4. Transformasi Jacobian untuk Integral Lipat Dua

Ketika melakukan perubahan variabel dalam sebuah integral lipat dua, kita harus memperhatikan:

a. Fungsi integran f(x, y)

b. Diferensial dx dy

c. Daerah integrasi R

Misalkan G adalah transformasi injektif dari R² ke R² yang memetakan daerah terbatas S dalam bidang uv ke daerah terbatas R dalam bidang xy. Jika G berbentuk G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), maka

di mana J(u, v), yang disebut Jacobian, sama dengan determinan

Ingat kembali koordinat polar, dimana x = r.cos(θ), y = r.sin(θ), sehingga Jacobiannya adalah:

Sehingga dx dy = |r| dr dθ = r dr dθ, karena r selalu positif sehingga tidak perlu tanda mutlak.

5. Transformasi Jacobian untuk Integral Lipat Tiga

Jika G adalah transformasi injektif dari R³ ke R³ yang memetakan daerah terbatas S dalam ruang uvw ke daerah terbatas R dalam ruang xyz, dan jika G berbentuk G(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), maka:

di mana J(u, v, w), yang disebut Jacobian, adalah determinan dari matriks Jacobian:

Ingat kembali koordinat bola, dimana x = ρ.sin(φ).cos(θ), y = ρ.sin(φ).sin(θ), z = ρ.cos(φ), sehingga Jacobiannya adalah:

Sehingga dx dy dz = |−ρ².sin(φ)| dρ dθ dφ, perhatikan ρ² tak mungkin negatif karena berpangkat genap.

Selain itu, karena 0 ≤ φ ≤ 𝜋, nilai sin(φ) tak mungkin negatif, sehingga |−ρ².sin(φ)| = ρ².sin(φ).

Jadi, dx dy dz = ρ².sin(φ) dρ dθ dφ