Persamaan Trigonometri

1. Persamaan Trigonometri dalam Bentuk Dasar

A. Persamaan sinus dasar

sin(x) = a, dengan −1 ≤ a ≤ 1

cari nilai θ sehingga sin(θ) = a

sin(x) = sin(θ), kanselasi

x = θ

perlu diketahui bahwa terdapat tak hingga θ yang memenuhi, dengan menggunakan sudut-sudut yang berelasi diperoleh:

x₁ = θ + 2kπ, dengan k ∈ Z

x₂ = (π − θ) + 2kπ, dengan k ∈ Z

B. Persamaan kosinus dasar

cos(x) = a, dengan −1 ≤ a ≤ 1

cos(x) = cos(θ)

x = θ

penyelesaian:

x₁ = θ + 2kπ, dengan k ∈ Z

x₂ = −θ + 2kπ, dengan k ∈ Z

C. Persamaan tangen dasar

tan(x) = a

tan(x) = tan(θ)

x = θ

penyelesaian:

x = θ + kπ, dengan k ∈ Z

2. Persamaan Hasil Kali Sinus dan Kosinus

A. Persamaan hasil kali sinus dengan kosinus

sin(x + a).cos(x + b) = c, kalikan masing-masing ruas dengan 2

2.sin(x + a).cos(x + b) = c

sin(2x + a + b) + sin(a − b) = c

sin(2x + a + b) = c − sin(a − b)

B. Persamaan hasil kali kosinus dengan kosinus

cos(x + a).cos(x + b) = c, kalikan masing-masing ruas dengan 2

2.cos(x + a).cos(x + b) = 2c

cos(2x + a + b) + cos(a − b) = 2c

cos(2x + a + b) = 2c − cos(a − b)

C. Persamaan hasil kali sinus dengan sinus

sin(x + a).sin(x + b) = c, kalikan masing-masing ruas dengan 2

2.sin(x + a).sin(x + b) = 2c

cos(a − b) − cos(2x + a + b) = 2c

cos(2x + a + b) = cos(a − b) − 2c

contoh:

1. Selesaikan tan(2x) + cot(x) = 0

solusi:

tan(2x) + cot(x) = 0

sin(2x)/cos(2x) + cos(x)/sin(x) = 0

[sin(2x).sin(x) + cos(2x).cos(x)]/[cos(2x).sin(x)] = 0

cos(2x − x)/[cos(2x).sin(x)] = 0

cos(x)/[cos(2x).sin(x)] = 0

cos(x) = 0

x = 90°, 270°

untuk x = 90° → tan(2.90°) + cot(90°) = 0 + 0 = 0, memenuhi

x = 270° → tan(2.90°) + cot(90°) = 0 + 0 = 0, memenuhi

HP = {90°, 270°}

2. Selesaikan tan(x + 30°).tan(x + 60°) = 1

solusi:

tan(x + 30°).tan(x + 60°) = 1

sin(x + 30°).sin(x + 60°)/[cos(x + 30°).cos(x + 60°)] = 1

[cos(30°) − cos(2x + 90°)]/[cos(2x + 90°) + cos(30°)] = 1

cos(30°) − cos(2x + 90°) = cos(2x + 90°) + cos(30°)

2cos(2x + 90°) = 0

cos(2x + 90°) = 0 = cos(90°)

2x + 90° = 90° + k.360° ∨ 2x + 90° = 270° + k.360°

2x = k.360° ∨ 2x = 180° + k.360°

x = k.180° ∨ x = 90° + k.180°

x = 0°, 90°, 180°, 270°, 360°

HP = {0°, 90°, 180°, 270°, 360°}

3. Selesaikan tan(2x) + cot(x − 120°) = 0

solusi:

tan(2x) + cot(x − 120°) = 0

sin(2x)/cos(2x) + cos(x − 120°)/sin(x − 120°) = 0

[sin(2x).sin(x − 120°) + cos(2x).cos(x − 120°)]/[cos(2x).sin(x − 120°)] = 0

cos(x + 120°)/[cos(2x).sin(x − 120°)] = 0

cos(x + 120°) = 0 = cos(90°)

x + 120° = 90° + k.360° ∨ x + 120° = 270° + k.360°

x = 150°, 330°

HP = {150°, 330°}

4. Selesaikan 2.cos(x).cos(x + 60°) = 1

solusi:

2.cos(x).cos(x + 60°) = 1

cos(2x + 60°) + cos(60°) = 1

cos(2x + 60°) = 1 − cos(60°) = ½ = cos(60°)

2x + 60° = ±60° + k.360°

x + 30° = ±30° + k.180°

x = −30° ± 30° + k.180°

x = 120°, 300°, 0°, 180°, 360°

HP = {0°, 120°, 180°, 300°, 360°}

3. Persamaan Trigonometri Berbentuk Perbandingan

A. Persamaan perbandingan sinus

p.sin(x + a) = q.sin(x + b)

sehingga diperoleh:

B. Persamaan perbandingan kosinus
p.cos(x + a) = q.cos(x + b)

p.[cos(x).cos(a) − sin(x).sin(a)] = q.[cos(x).cos(b) − sin(x).sin(b)]

cos(x).[p.cos(a) − q.cos(b)] = sin(x).[p.sin(a) − q.sin(b)]

sehingga diperoleh:

tan(x) = [p.cos(a) − q.cos(b)]/[p.sin(a) − q.sin(b)]

C. Persamaan perbandingan tangen

p.tan(x + a) = q.tan(x + b)

sehingga diperoleh:

Contoh:

Selesaikan 12.sin(x + 15°) = 19.sin(x + 49°)

p = 12, q = 19, a = 15°, b = 49°

tan[(2x + 15° + 49°)/2] = (19 + 12)/(19 − 12) × tan[(15° + 49°)/2]

tan(x + 32°) = (31/7).tan(32°) ≈ 2,76727856 ≈ tan(70,13187435°)

x + 32° ≈ 70,13187435° + k.180°

x = 38,132°; 218,132°

HP = {38,132°; 218,132°}

4. Persamaan Trigonometri dalam Bentuk Kuadrat

A. Persamaan kuadrat sinus

Diberikan a.sin²(x) + b.sin(x) + c = 0. Untuk menyelesaikannya dimisalkan sin(x) = t, agar memiliki solusi real, diharuskan memenuhi kedua syarat:

(i) b² − 4ac ≥ 0

(ii) −1 ≤ sin(x) ≤ 1

apabila terdapat syarat yang tidak terpenuhi, maka solusinya adalah bilangan kompleks.

B. Persamaan kuadrat kosinus

Diberikan a.cos²(x) + b.cos(x) + c = 0. Untuk menyelesaikannya dimisalkan cos(x) = t, agar memiliki solusi real, diharuskan memenuhi kedua syarat:

(i) b² − 4ac ≥ 0

(ii) −1 ≤ cos(x) ≤ 1

apabila terdapat syarat yang tidak terpenuhi, maka solusinya adalah bilangan kompleks.

C. Persamaan kuadrat tangen

Diberikan a.tan²(x) + b.tan(x) + c = 0. Untuk menyelesaikannya dimisalkan tan(x) = t, agar memiliki solusi real, diharuskan b² − 4ac ≥ 0

contoh:

2 − 2.cos²(x) − sin(x) = 0

ingat kembali identitas Pythagoras

2 − 2.[1 − sin²(x)] − sin(x) = 0

2.sin²(x) − sin(x) = 0

sin(x).[2.sin(x) − 1] = 0

sin(x) = 0 ∨ sin(x) = ½

x = 0°, 180°, 360°, 30°, 150°

HP = {0°, 30°, 150°, 180°, 360°}

5. Persamaan Trigonometri Berbentuk a.cos(x) + b.sin(x) = c

a.cos(x) + b.sin(x) = c, bagi masing-masing ruas dengan a

cos(x) + (b/a).sin(x) = c/a, misal b/a = tan(α)

cos(x) + tan(α).sin(x) = c/a, kalikan masing-masing ruas dengan cos(α)

cos(x).cos(α) + sin(x).sin(α) = (c/a).cos(α)

cos(x − α) = (c/a).cos(α)

karena tan(α) = b/a, maka:

sehingga:

oleh karena itu, agar persamaan ini memiliki solusi real, diharuskan:

Jadi, agar persamaan ini memiliki solusi real, diharuskan c² ≤ a² + b²
contoh:

1. Selesaikan 3.cos(x) − sin(x) = 2

a = 3, b = −1, c = 2

c² = 4 ≤ a² + b² = 10, persamaan ini memiliki solusi real

tan(α) = b/a = −1/3 → α = −18,43495° ∨ α = 161,56505°

cos(α) = 3/√10 → α = ±18,43495°

sehingga α = −18,43495°

cos(x + 18,43495°) = 2/√10 = cos(50,76848°)

x + 18,43495° = ±50,76848° + k.360°

x = 290,79657°; 32,33353°

HP = {32,33353°; 290,79657°}

2. Tentukan batas nilai a agar persamaan (a + 1).cos(x) + a.sin(x) = a + 2 memiliki solusi real.

(a + 2)² ≤ (a + 1)² + a²

a² + 4a + 4 ≤ 2a² + 2a + 1

−a² + 2a + 3 ≤ 0

a² − 2a − 3 ≥ 0

(a + 1)(a − 3) ≥ 0

Interval	a − 3	a + 1	(a + 1)(a − 3)
a < −1	−	−	+
−1 < a < 3	−	+	−
a > 3	+	+	+

Karena tandanya "≥", interval yang memenuhi adalah interval yang bernilai positif atau 0

HP = {a ∈ R | a ≤ −1 ∨ a ≥ 3}

6. Persamaan Jumlah atau Selisih Perbandingan Trigonometri

Misal diberikan persamaan dalam bentuk:

cos(x + a) ± cos(x + b) = c, atau

sin(x + a) ± sin(x + b) = c

Untuk menyelesaikannya, bentuk penjumlahan atau pengurangan ini dapat diubah menjadi bentuk perkalian.

Contoh:

sin(2x + 60°) − sin(2x − 60°) = 1

untuk menyelesaikannya, ubah ke bentuk perkalian

2.cos(2x).sin(60°) = 1

2.cos(2x).[½√3] = 1

cos(2x) = 1/√3 = cos(54,7356°)

2x = ±54,7356° + k.360°

x = 54,7356°; 305,2644°

HP = {54,7356°; 305,2644°}

7. Persamaan Trigonometri Pangkat Tinggi

Misal diberikan persamaan trigonometri dalam pangkat tinggi, langkah menyelesaikannya adalah:

• Nyatakan semua fungsi trigonometri dalam persamaan dengan bentuk sin(x) atau cos(x)

• Periksa selisih derajat suku-suku dalam sin(x) and cos(x)

• Untuk selisih derajatnya genap:

1. Jadikan suku-sukunya homogen dengan perkalian [sin²(x) + cos²(x)]^k, dengan k ∈ N

2. Uraikan perkalian, sehingga suku-sukunya hanya dalam sinⁿ(x), cosⁿ(x), atau sin^p(x).cos^n-p(x)

3. Bagi semua suku dengan cosⁿ(x), sehingga persamaannya menjadi dalam bentuk tan(x)

• Untuk selisih derajatnya tidak semua genap:

1. Nyatakan suku-sukunya dalam bentuk sin(x/2) atau cos(x/2)

2. Jadikan suku-sukunya homogen dengan perkalian [sin²(x/2) + cos²(x/2)]^k, dengan k ∈ N

3. Uraikan perkalian, sehingga suku-sukunya hanya dalam sinⁿ(x/2), cosⁿ(x/2), atau sin^p(x/2).cos^n-p(x/2)

4. Bagi semua suku dengan cosⁿ(x/2), sehingga persamaannya menjadi dalam bentuk tan(x/2)

Contoh:

5.cos(4x) − 14.sin(x).cos(3x) + 12.sin²(2x) + 28.cos(2x) − 21.sin(2x) + 15 = 0

misal cos(x) = c, sin(x) = s

Ingat rumus sudut rangkap:

cos(2x) = 2.cos²(x) – 1 = 2c² – 1

sin(2x) = 2.sin(x).cos(x) = 2sc

cos(3x) = 4.cos³(x) – 3.cos(x) = 4c³ – 3c

cos(4x) = 8.cos⁴(x) – 8.cos²(x) + 1 = 8c⁴ – 8c² + 1

persamaannya menjadi:

5.[8c⁴ – 8c² + 1] − 14.s[4c³ – 3c] + 12.(2sc)² + 28.[2c² – 1] − 21.2sc + 15 = 0

40c⁴ – 40c² + 5 − 56sc³ + 42sc + 48s²c² + 56c² – 28 – 42sc + 15 = 0

40c⁴ – 56sc³ + 48s²c² + 16c² – 8 = 0, bagi dengan 8

5c⁴ – 7sc³ + 6s²c² + 2c² – 1 = 0

suku-sukunya semua berderajat genap, tidak ada yang ganjil

5c⁴ – 7sc³ + 6s²c² + 2c²(s² + c²) – (s² + c²)² = 0

5c⁴ – 7sc³ + 6s²c² + 2s²c² + 2c⁴ – s⁴ – c⁴ – 2s²c² = 0

6c⁴ – 7sc³ + 6s²c² – s⁴ = 0, bagi dengan –c⁴

tan⁴(x) – 6.tan²(x) + 7.tan(x) – 6 = 0, misal tan(x) = t

t⁴ – 6t² + 7t – 6 = 0

(t + 3)(t – 2)(t² – t + 1) = 0

t = –3 ∨ t = 2

tan(x) = –3 ∨ tan(x) = 2

x = 108,435°; 288,435°; 63,435°; 243,435°

HP = {63,435°; 108,435°; 243,435°; 288,435°}

Contoh Soal

1. Selesaikan 4.sin(2x) – 3.tan(x) – 3.cot(x) = 5

solusi:

4.sin(2x) – 3.tan(x) – 3.cot(x) = 5

4.sin(2x) – 3.tan(x) – 3.cot(x) – 5 = 0, kalikan masing-masing ruas dengan sin(x).cos(x)

8.sin²(x).cos²(x) – 3.sin²(x) – 3.cos²(x) – 5.sin(x).cos(x) = 0

Misal sin(x) = s dan cos(x) = c

8s²c² – 3 – 5sc = 0

(8sc + 3)(sc – 1) = 0

sc = –⅜ ∨ sc = 1

sin(2x) = –¾ ∨ sin(2x) = 2 (TM)

sin(2x) = sin(–48,59°)

2x = –48,59° + k.360° ∨ 2x = 180° + 48,59 + k.360°

x = –24,295° + k.180° ∨ x = 114,295° + k.180°

x = 155,705°; 335,705°; 114,295°; 294,295°

HP = {114,295°; 155,705°; 294,295°; 335,705°}

2. Selesaikan sin(x)/cos(2x) – sin(x) = cos(x) – cos(x)/cos(2x)

solusi:

sin(x)/cos(2x) – sin(x) = cos(x) – cos(x)/cos(2x), kalikan masing-masing ruas dengan cos(2x)

sin(x) – sin(x).cos(2x) = cos(x).cos(2x) – cos(x)

sin(x) + cos(x) – sin(x).cos(2x) – cos(x).cos(2x) = 0

[sin(x) + cos(x)].[1 – cos(2x)] = 0

sin(x) + cos(x) = 0 ∨ 1 – cos(2x) = 0

sin(x) = –cos(x) ∨ cos(2x) = 1 = cos(0)

tan(x) = –1 ∨ 2x = 0° + k.360°

x = 135°, 315° ∨ x = 0, 180°, 360°

HP = {0°, 135°, 180°, 315°, 360°}

3. Selesaikan tan(x) + tan(2x) = tan(3x)

solusi:

tan(x) + tan(2x) = tan(3x)

tan(x) + tan(2x) – tan(3x) = 0

misal tan(x) = t
t + 2t/(1 – t²) – (3t – t³)/(1 – 3t²) = 0, bagi dengan t

1 + 2/(1 – t²) – (3 – t²)/(1 – 3t²) = 0

[(1 – t²)(1 – 3t²) + 2(1 – 3t²) – (1 − t²)(3 − t²)]/[(1 – t²)(1 – 3t²)] = 0

[1 – 4t² + 3t⁴ + 2 – 6t² – 3 + 4t² – t⁴]/[(1 – t²)(1 – 3t²)] = 0

[2t⁴ – 6t²]/[(1 – t²)(1 – 3t²)] = 0

[2t(t² – 3)]/[(1 – t²)(1 – 3t²)] = 0

t = 0 ∨ t = ±√3

tan(x) = 0 ∨ tan(x) = √3 ∨ tan(x) = –√3

x = 0°, 180°, 360°, 60°, 240°, 120°, 300°

HP = {0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}

4. Selesaikan 2.cos²(x) + sin(x).cos(x) – 3.sin²(x) = 0

[cos(x) – sin(x)].[2.cos(x) + 3.sin(x)] = 0

sin(x) = cos(x) ∨ sin(x) = –⅔.cos(x)

tan(x) = 1 ∨ tan(x) = –⅔

x = 45°; 225°; 146,31°; 326,31°

HP = {45°; 146,31°; 225°; 326,31°}

5. Tentukan batas nilai a agar persamaan a.cos(x) + (a – 1).sin(x) = a + 1 memiliki solusi real

Agar memiliki solusi real, diharuskan

(a + 1)² ≤ a² + (a – 1)²

a² + 2a + 1 ≤ 2a² – 2a + 1

–a² + 4a ≤ 0

a² – 4a ≥ 0

a(a – 4) ≥ 0

Interval	a − 4	a	a(a − 4)
a < 0	−	−	+
0 < a < 4	−	+	−
a > 4	+	+	+

Karena tandanya "≥", interval yang memenuhi adalah interval yang bernilai positif atau 0

HP = {a ∈ R | a ≤ 0 ∨ a ≥ 4}

6. Tentukan batas nilai a agar persamaan cos(x).cos(x + 60°) = 4a memiliki solusi real

cos(x).cos(x + 60°) = 4a, kalikan masing-masing ruas dengan 2

2.cos(x).cos(x + 60°) = 8a

cos(x + 60°) + cos(60°) = 8a

cos(x + 60°) = 8a – ½

agar memiliki solusi real, diharuskan –1 ≤ cos(x + 60°) ≤ 1

–1 ≤ 8a – ½ ≤ 1, tambahkan masing-masing ruas dengan ½

–½ ≤ 8a ≤ 3/2, bagi masing-masing ruas dengan 8

–1/16 ≤ a ≤ 3/16

HP = {a ∈ R | –1/16 ≤ a ≤ 3/16}