Pertidaksamaan Trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri adalah sebuah kalimat terbuka matematika yang melibatkan perbandingan nilai fungsi trigonometri (sinus, cosinus, tangen, dan lain-lain) pada suatu sudut tertentu. Sederhananya, kita sedang mencari nilai-nilai sudut yang memenuhi suatu syarat tertentu, seperti "sin x lebih besar dari 1/2". Pemahaman mendalam tentang pertidaksamaan trigonometri akan membantu kita dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan konsep periodisitas dan siklik.

Berikut langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri:

1. Buat ruas kanan menjadi 0

2. Ubah bentuk ruas kiri menjadi perkalian

3. Cari pembuat nol untuk batas-batas interval

4. Tentukan interval dimana ruas kiri bernilai positif dan negatif

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian 3.cos(x) > 2.sin²(x) untuk 0° ≤ x ≤ 360°

solusi:

3.cos(x) > 2.sin²(x)

3.cos(x) − 2.sin²(x) > 0

3.cos(x) − 2(1 − cos²(x)) > 0

2.cos²(x) + 3.cos(x) − 2 > 0

[2.cos(x) − 1].[cos(x) + 2] > 0

cos(x) = ½ ∨ cos(x) = −2 (TM)

x = 60°, 300°

Interval	2.cos(x) − 1	cos(x) + 2	Hasil kali
0° ≤ x < 60°	+	+	+
60° < x < 300°	−	+	−
300° < x ≤ 360°	+	+	+

karena tandanya ">", interval yang memenuhi adalah yang bernilai positif

HP = {0° ≤ x < 60° ∨ 300° < x ≤ 360°}

2. Tentukan himpunan penyelesaian sin(3x + 75°) < ½√3

solusi:

sin(3x + 75°) < ½√3

sin(3x + 75°) = ½√3 = sin(60°)

3x + 75° = 60° + k.360° ∨ 3x + 75° = 120° + k.360°

x = −5° + k.120° ∨ x = 15° + k.120°

x = 115°, 235°, 355°, 15°, 135°, 255°

Interval	sin(3x + 75°) − ½√3
0° ≤ x < 15°	+
15° < x < 115°	−
115° < x < 135°	+
135° < x < 235°	−
235° < x < 255°	+
255° < x < 235°	−
355° < x ≤ 360°	+

karena tandanya "<", interval yang memenuhi adalah yang bernilai negatif

HP = {15° < x < 115° ∨ 135° < x < 235° ∨ 255° < x < 355°}

3. Tentukan himpunan penyelesaian |2.sin(x) + 1| ≥ 4.|sin(x)|

solusi:

|2.sin(x) + 1| ≥ 4.|sin(x)|, kuadratkan kedua ruas

(2.sin(x) + 1)² ≥ (4.sin(x))²

(2.sin(x) + 1)² − (4.sin(x))² ≥ 0

[2.sin(x) + 1 + 4.sin(x)].[2.sin(x) + 1 − 4.sin(x)] ≥ 0

[6.sin(x) + 1].[−2.sin(x) + 1] ≥ 0

sin(x)  = −⅙ ∨ sin(x) = ½

x = 189,594°; 350,406°; 30°; 150°

Interval	6.sin(x) + 1	−2.sin(x) + 1	Hasil kali
0° ≤ x < 30°	+	+	+
30° < x < 150°	+	−	−
150° < x < 189,6°	+	+	+
189,6° < x < 350,4°	−	+	−
350,4° < x ≤ 360°	+	+	+

karena tandanya "≥", interval yang memenuhi adalah yang bernilai positif atau nol.

HP = {0° ≤ x ≤ 30° ∨ 150° ≤ x ≤ 189,6° ∨ 350,4° ≤ x ≤ 360°}

4. Tentukan himpunan penyelesaian sin(x) + sin(2x) > sin(3x) untuk 0° ≤ x ≤ 720°

solusi:

sin(x) + sin(2x) > sin(3x)

sin(x) + sin(2x) − sin(3x) > 0

sin(x) − sin(3x) + sin(2x) > 0

2.cos(2x).sin(−x) + sin(2x) > 0

−2.cos(2x).sin(x) + 2.sin(x).cos(x) > 0

2.sin(x).[cos(x) − cos(2x)] > 0

2.sin(x).[−2.sin(3x/2).sin(−x/2)] > 0

4.sin(x).sin(3x/2).sin(x/2) > 0

sin(x) = 0 ∨ sin(3x/2) = 0 ∨ sin(x/2) = 0

x = 0°, 180°, 360°, 540°, 720°, 120°, 240°, 480°, 600°

Interval	sin(x)	sin(3x/2)	sin(x/2)	*
0° < x < 120°	+	+	+	+
120° < x < 180°	+	−	+	−
180° < x < 240°	−	−	+	+
240° < x < 360°	−	+	+	−
360° < x < 480°	+	−	−	+
480° < x < 540°	+	+	−	−
540° < x < 600°	−	+	−	+
600° < x < 720°	−	−	−	−

karena tandanya ">", interval yang memenuhi adalah yang bernilai positif.

HP = {0° < x < 120° ∨ 180° < x < 240° ∨ 360° < x < 480° ∨ 540° < x < 600°}

5. Tentukan himpunan penyelesaian [2.tan(x) + 1]/[sin(x) − 2.cos(x)] ≤ 0

[2.tan(x) + 1]/[sin(x) − 2.cos(x)] ≤ 0

Ingat! 2.tan(x) + 1 = 2.sin(x)/cos(x) + 1 = [2.sin(x) + cos(x)]/cos(x)

[2.sin(x) + cos(x)]/[cos(x).(sin(x) − 2.cos(x))]

• Pembuat nol pembilang:

2.tan(x) + 1 = 0

tan(x) = −½

x = 153,435°; 333,435°

• Pembuat nol penyebut:

cos(x).(sin(x) − 2.cos(x)) = 0

cos(x) = 0 ∨ sin(x) − 2.cos(x) = 0

cos(x) = 0 ∨ sin(x) = 2.cos(x)

cos(x) = 0 ∨ tan(x) = 2

x = 90°; 270°; 63,435°; 243,435°

Interval	2.sin(x) + cos(x)	cos(x)	sin(x) − 2.cos(x)	÷
0° ≤ x < 63,4°	+	+	−	−
63,4° < x < 90°	+	+	+	+
90° < x < 153,4°	+	−	+	−
153,4° < x < 243,4°	−	−	+	+
243,4° < x < 270°	−	−	−	−
270° < x < 333,4°	−	+	−	+
333,4° < x ≤ 360°	+	+	−	−

karena tandanya "≤", interval yang memenuhi adalah yang bernilai negatif atau nol.

HP = {0° ≤ x < 63,4° ∨ 90° < x ≤ 153,4° ∨ 243,4° < x < 270° ∨ 333,4° ≤ x ≤ 360°}

6. Selesaikan 2.cos²(x) + sin(x).cos(x) – 3.sin²(x) ≥ 0

solusi:

2.cos²(x) + sin(x).cos(x) – 3.sin²(x) ≥ 0

[cos(x) – sin(x)].[2.cos(x) + 3.sin(x)] ≥ 0

sin(x) = cos(x) ∨ sin(x) ≥ –⅔.cos(x)

tan(x) = 1 ∨ tan(x) = –⅔

x = 45°; 225°; 146,31°; 326,31°

Interval	cos(x) – sin(x)	2.cos(x) + 3.sin(x)	*
0° ≤ x < 45°	+	+	+
45° < x < 146,3°	−	+	−
146,3° < x < 225°	−	−	+
225° < x < 326,3°	+	−	−
326,3° < x ≤ 360°	+	+	+

karena tandanya "≥", interval yang memenuhi adalah yang bernilai positif atau nol.

HP = {0° ≤ x ≤ 45° ∨ 146,31° ≤ x ≤ 225° ∨ 326,31° ≤ x ≤ 360°}

7. Selesaikan 3.cos(x) – 2.tan(x) – 2.sec(x) ≥ 0

solusi:

3.cos(x) – 2.tan(x) – 2.sec(x) ≥ 0

[3.cos²(x) – 2.sin(x) – 2]/cos(x) ≥ 0

[3.(1 – sin²(x)) – 2.sin(x) – 2]/cos(x) ≥ 0

[–3.sin²(x) – 2.sin(x) + 1]/cos(x) ≥ 0

[–3.sin(x) + 1].[sin(x) + 1]/cos(x) ≥ 0

• Pembuat nol pembilang

sin(x) = ⅓ ∨ sin(x) = –1

x = 19,47°; 160,53°; 270°

• Pembuat nol penyebut

cos(x) = 0

x = 90°; 270°

Interval	–3.sin(x) + 1	sin(x) + 1	cos(x)	*/
0° ≤ x < 19,5°	+	+	+	+
19,5° < x < 90°	−	+	−	−
90° < x < 160,5°	−	+	−	+
160,5° < x < 270°	+	+	−	−
270° < x ≤ 360°	+	+	+	+

karena tandanya "≥", interval yang memenuhi adalah yang bernilai positif atau nol.

HP = {0° ≤ x ≤ 19,5° ∨ 90° < x ≤ 160,5° ∨ 270° < x ≤ 360°}