Rente

1. Rente

Rente adalah sederetan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterimakan pada setiap jangka waktu tertentu dan tetap besarnya. Rente sering disebut sebagai tabungan periodik atau penerimaan periodik. Berdasarkan waktu pembayaran atau penerimaannya rente dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

a. Rente Pra Numerindo, adalah rente yang dibayarkan atau diterimakan pada awal periode. 

b. Rente Post numerindo, adalah rente yang dibayarkan atau diterimakan pada akhir periode.

2. Nilai Akhir Rente Pra-Numerindo

Jika sebuah modal (M) dibungakan dengan bunga majemuk p% (= i) tiap periode maka besar modal sesudah n periode (= Mₙ) adalah

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

Jika pada awal periode tiap tanggal yang sama dengan periode waktu yang sama ditabung modal M selama n kali dengan bunga majemuk sebesar i, maka jumlah tabungan sampai pada saat tabungan terakhir (= J) adalah

J = M₀(1 + i) + M₀(1 + i)² + M₀(1 + i)³ + ... + M₀(1 + i)ⁿ

perhatikan, bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri, dengan a = M₀(1 + i) dan r = (1 + i), masukkan ke rumus deret geometri:

bentuk ini masih bisa dibuat lebih sederhana:

Contoh:
Seseorang secara rutin setiap awal tahunnya menabung Rp1.000.000 di bank yang sama, dengan bunga 5% per tahun, jumlah tabungannya selama 15 tahun adalah...

Diketahui M₀ = 1.000.000; i = 5% = 0,05; n = 15

Jumlah tabungannya selama 15 tahun adalah Rp22.657.491,77

3. Nilai Tunai Rente Pra-Numerindo

Jika besar modal setelah n periode dibungakan dengan bunga majemuk p% (= i) tiap periode (= i) adalah Mn, maka besar Nilai tunai (= M₀ = N) adalah

Nₜ = Mₙ ÷ (1 + i)ⁿ

Jika uang yang akan diterima sebesar M setiap awal periode sebanyak n kali dengan bunga majemuk sebesar i, maka jumlah Nilai Tunai pada penerimaan awal periode pertama (= Y) adalah

perhatikan, bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri, dengan a = M dan r = 1/(1 + i), masukkan ke rumus deret geometri:

dan akhirnya kita peroleh:

Contoh:

Seseorang akan mendapatkan bantuan secara rutin Rp200.000 di setiap awal bulan selama 1 tahun dengan dikenai bunga 1,5% per bulan. Akan tetapi karena ada keperluan tertentu, dia ingin langsung menerimanya secara total, nilai tunai yang diterimanya adalah...

Diketahui M = 200000; i = 1,5% = 0,015; n = 12 bulan

Jadi, nilai tunai yang diterimanya adalah Rp2.214.223,56

4. Nilai Akhir Rente Post-Numerindo

Jika sebuah modal (M) dibungakan dengan bunga majemuk p% (= i) tiap periode maka besar modal sesudah n periode (= Mₙ) adalah

Mₙ = M₀ × (1 + i)ⁿ

Jika pada akhir periode tiap tanggal yang sama dengan periode waktu yang sama ditabung modal M selama n kali dengan bunga majemuk sebesar i, maka jumlah tabungan sampai pada saat tabungan terakhir (= J) adalah

J = M₀ + M₀(1 + i)² + M₀(1 + i)³ + ... + M₀(1 + i)ⁿ

perhatikan, bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri, dengan a = M₀ dan r = (1 + i), masukkan ke rumus deret geometri:

Contoh:
Seseorang setiap akhir tahun menabung Rp 1.200.000, dengan bunga 4% per tahun, jumlah tabungan selama 25 tahun adalah...

Diketahui M₀ = 1.200.000; i = 4% = 0,04; n = 25

Jumlah tabungannya selama 25 tahun adalah Rp49.975.089,94

5. Nilai Tunai Rente Post-Numerindo

Jika besar modal setelah n periode dibungakan dengan bunga majemuk p% (= i) tiap periode (= i) adalah Mₙ, maka besar Nilai tunai (= M₀ = Nₜ) adalah

Nₜ = Mₙ ÷ (1 + i)ⁿ

Jika uang yang akan diterima sebesar M setiap akhir periode sebanyak n kali dengan bunga majemuk sebesar i maka jumlah Nilai Tunai pada penerimaan awal periode pertama (= Y) adalah

perhatikan, bahwa penjumlahan ini merupakan deret geometri, dengan a = M/(1 + i) dan r = 1/(1 + i), masukkan ke rumus deret geometri:

dan akhirnya kita peroleh:

Contoh:

Pada akhir tiap tahun seseorang akan menerima uang sebesar Rp 125.000,00 dari Yayasan. Sedianya dia akan menerima sebanyak 10 kali, tetapi dia ingin mengambil/menerima seluruh uang tersebut sekaligus pada awal tahun pertama. Berapa banyak uang yang akan diterima dita jika bunga diperhitungkan 3% pertahun?

Diketahui M = 125000; i = 3% = 0,03; n = 10 tahun

Jadi, nilai tunai yang diterimanya adalah Rp1.066.275,36