Sistem Bilangan Real (Teobil)

Bilangan real adalah bilangan nyata, yang memang ada sungguhan. Bilangan real terbagi menjadi bilangan bulat (integer) dan bilangan pecah (float). Bilangan bulat adalah bilangan yang utuh, tidak terpecah, sedangkan bilangan pecah adalah bilangan yang tidak utuh. Bilangan pecah terbagi menjadi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan dalam bentuk a/b, dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli (bilangan bulat positif), a dan b relatif prima (FPB dari keduanya adalah 1). Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditemukan padanya sifat-sifat bilangan rasional sebagaimana yang telah disebutkan. Bilangan irasional terbagi menjadi bilangan radikal (bilangan dalam tanda akar) dan bilangan transendental (bilangan yang tidak mungkin ditemukan bentuk radikal). Bilangan radikal adalah bilangan rasional dalam tanda akar.

Sifat desimal dari bilangan rasional adalah sebagai berikut:

a. Berhenti, jika tidak ada faktor prima selain 2 dan 5 dari penyebutnya. Misal: 3/4, 2/5, 1/8, etc.

b. Berulang beraturan, jika ada faktor prima selain 2 dan 5 dari penyebutnya. Misal: 5/3, 7/66, etc.

Hal ini berlaku karena faktor prima dari 10 adalah 2 dan 5, dan dikarenakan 10 merupakan bilangan basis.

Adapun sifat desimal dari bilangan irasional tidak beraturan.

1. Pengenalan Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Jika n bilangan real, maka n + (−n) = (−n) + n = 0.

(−n) disebut lawan (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Adapun operasi pengurangan, merupakan invers dari operasi penjumlahan.

2. Pengenalan Operasi Perkalian dan Pembagian

Jika n bilangan real taknol, maka n × (1/n) = (1/n) × n = 1.

(1/n) disebut kebalikan (invers perkalian dari) n, dan 1 disebut elemen identitas terhadap perkalian.

Sedangkan 0 disebut elemen singular, yaitu elemen yang tidak memiliki invers dari perkalian.

Adapun operasi pembagian, merupakan invers dari operasi perkalian.

3. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Real

a. Sifat komutatif penjumlahan dan perkalian

a + b = b + a

a × b = b × a

b. Sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

a × (b × c) = (a × b) × c = a × b × c

c. Sifat distributif kiri

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b − c) = (a × b) − (a × c)

d. Sifat distributif kanan

(a + b) × c = (a × c) + (b × c)

(a − b) × c = (a × c) − (b × c)

e. Sifat tertutup penjumlahan, pengurangan, dan perkalian

Jika a bilangan real dan b bilangan real, maka

a + b juga bilangan real

a − b juga bilangan real

a × b juga bilangan real

Adapun pembagian, a ÷ b bilangan real jika dan hanya jika b ≠ 0.

4. Lebih Lanjut Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

a. Jika a, b dan k bilangan-bilangan real, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k. Pengurangan bilangan real bersifat tertutup.

Untuk menunjukkan bahwa pengurangan bilangan-bilangan real memiliki sifat tertutup, maka harus ditunjukkan bahwa untuk setiap a dan b bilangan-bilangan real selalu ada tunggal bilangan real (a – b). Berarti, ada bilangan real k sedemikian sehingga a – b = k.

Menurut definisi Pengurangan, a – b = k bhb a = b + k

a + (–b) = (b + k) + (–b)

= (k + b) + (–b)

= k + (b + (–b))

= k + 0

= k

a + (–b) = k

k = a + (–b) ini menunjukkan bahwa ada bilangan real k sedemikian hingga a – b = k.

Dengan demikian, pengurangan bilangan-bilangan real memiliki sifat tertutup.

Jadi,  a – b = k = a + (–b)

b. a – (–b) = a + b

a – (–b) = a + b dipandang sebagai kalimat pengurangan dengan a sebagai terkurangi, (–b) sebagai pengurang dan (a + b) sebagai hasil pengurangan. Sehingga hal ini sama artinya

(a + b) + (–b) = a

(a + b) + (–b) = a + (b + (–b))

= a + 0

= a

Jadi, a – (–b) = a + b

c. Kanselasi

Jika a, b dan c bilangan-bilangan real dan a + c = b + c, maka a = b.

a + c  =  b + c

(a + c) + (–c) = (b + c) + (–c)

a + (c + (–c)) = b + (c + (–c))

a + 0 = b + 0

a = b

5. Lebih Lanjut Operasi Perkalian dan Pembagian

a. Jika a, b dan c bilangan-bilangan real dengan b ≠ 0, maka a ÷ b = c bila dan hanya bila a = bc.

b. Rumus-rumus perkalian dan pembagian

–(ab) ÷ a = (–b)

–(ab) ÷ b = (–a)

–(ab) ÷ (–a) = b

–(ab) ÷ (–b) = a

ab ÷ (–a)  = (–b)

ab ÷ (–b)  = (–a)

((–a) ÷ b) × (b) = (–a)

(a ÷ (–b)) × b = (–a)

((–a) ÷ b) × (–b) = a

((–a) ÷ b) × (–b) = a

((–a) ÷ (–b)) × b =  a

((–a) ÷ (–b)) × (–b) = (–a)