Teori Binomial

1. Pola Pangkat dan Segitiga Pascal

Perhatikan pola perpangkatan berikut:

(x + a)⁰ = 1

(x + a)¹ = 1x + 1a

(x + a)² = 1x² + 2ax + 1a²

(x + a)³ = 1x³ + 3ax² + 3a²x + 1a³

(x + a)⁴ = 1x⁴ + 4ax³ + 6a²x² + 4a³x + 1a⁴

(x + a)⁵ = ...???

Untuk mengetahui koefisiennya, perhatikan:

Jadi, (x + a)⁵ = 1x⁵ + 5ax⁴ + 10a²x³ + 10a³x² + 5a⁴x + 1a⁵

Cara ini cocok untuk pangkat yang kecil, tapi bisa jadi rumit kalau pangkatnya besar. Kita akan pakai cara penulisan khusus biar lebih mudah dan buat rumus yang berlaku untuk semua angka, berdasarkan apa yang sudah kita lihat.

Ini disebut segitiga Pascal dan akan memberikan kita koefisien untuk ekspansi binomial berpangkat berapa pun jika kita memperpanjangnya cukup jauh.

2. Faktorial

Misal suatu bilangan asli n. Faktorial dari n, ditulis n!, adalah perkalian mundur dari n sampai 1.

0! = 1

1! = 1

2! = 2 × 1 = 2

3! = 3 × 2 × 1 = 6

...

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1

Dalam bentuk rekursif, kita dapat menuliskan:

n! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)!, dan seterusnya.

3. Kombinasi

Misal r dan n bilangan cacah dengan 0 ≤ r ≤ n. Kombinasi r objek yang diambil dari n objek dituliskan dengan C(n, r) dan dirumuskan sebagai:

Rumus kombinasi yang trivial:

Contoh:

Misalkan terdapat 5 objek, apabila dari 5 objek tersebut diambil 3 objek, maka banyaknya cara pengambilan 3 objek tersebut adalah:

4. Rumus Binomial

Bentuk ini dapat disingkat menjadi:

Pangkat x dimulai dari n dan berkurang 1 pada setiap suku. Pangkat a dimulai dari 0 dan bertambah 1 pada setiap suku. Koefisien binomial ditemukan dengan menghitung kombinasi. Juga, jumlah pangkat a dan x adalah n.

Dalam ekspansi ini, perhatikan hal-hal berikut:

• Pangkat a dan x jika dijumlahkan akan sama dengan pangkat binomial: Artinya, jika kita menambahkan pangkat dari variabel a dan x dalam setiap suku, hasilnya akan selalu sama dengan pangkat dari bentuk binomial awal.

• Pangkat a bertambah sedangkan pangkat x berkurang dari satu suku ke suku berikutnya: Ini berarti, saat kita bergerak dari suku pertama ke suku terakhir, pangkat variabel a akan terus meningkat, sedangkan pangkat variabel x akan terus menurun.

• Pangkat a selalu satu kurang dari nomor suku: Pangkat dari variabel a pada setiap suku selalu satu angka lebih kecil dari nomor urut suku tersebut.

• Koefisien bersifat simetris: Artinya, koefisien pada suku kedua dan suku sebelum terakhir akan sama, begitu pula dengan koefisien pada suku ketiga dan suku ketiga dari belakang, dan seterusnya. Jadi, setelah kita mencapai suku tengah, kita bisa langsung menyalin koefisien dari suku-suku sebelumnya untuk mendapatkan koefisien pada suku-suku setelahnya, sehingga tidak perlu menghitung ulang.

5. Segitiga Pascal dan Binomial

Ketika diamati segitiga pascal, ternyata entri-entrinya merupakan hasil kombinasi. Ingat kembali suatu elemen dalam segitiga pascal merupakan penjumlahan dua elemen, sebagai berikut:

6. Banyak Suku dari Bentuk Kuadrat

Perhatikan:

a² = a²

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c + d)² = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Secara umum:

Banyak sukunya adalah:

n + C(n, 2) = C(n, 1) + C(n, 2) = C(n + 1, 2)

Jadi, banyak suku dari pengkuadratan bentuk yang memiliki n suku adalah C(n + 1, 2)