Trigonometri: Muqodimah

1. Satuan Sudut

Dalam mempelajari trigonometri, konsep sudut sangatlah fundamental. Fungsi-fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, dan seterusnya) memiliki domain berupa sudut. Sederhananya, sudut terbentuk ketika sebuah sinar berputar terhadap titik pangkalnya. Ada beberapa satuan yang digunakan untuk mengukur besar suatu sudut:

A. Derajat Seksagesimal

• Satu putaran penuh lingkaran dibagi menjadi 360 bagian yang sama.

• Setiap bagian disebut 1 derajat (1°).

Contoh: Sudut siku-siku berukuran 90°.

Satuan derajat seksagesimal adalah yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

B. Derajat Sentisimal

• Satu putaran penuh lingkaran dibagi menjadi 400 bagian yang sama.

• Setiap bagian disebut 1 derajat sentisimal.

Satuan ini kurang umum digunakan dibandingkan derajat seksagesimal.

C. Radian

• Satu radian adalah besar sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.

• Radian merupakan satuan yang sering digunakan dalam kalkulus dan fisika karena sifatnya yang lebih alami dan memudahkan dalam perhitungan.

Hubungan antara radian dan derajat: 1 putaran penuh = 2π radian.

Ingat bahwa rumus keliling lingkaran adalah 2πr, karena 1 putaran penuh adalah 360°, kita memperoleh hubungan

2π rad = 360°

1 rad = 360° ÷ 2π ≈ 57,295779513°

Berikut tabel satu putaran penuh:

Satuan Sudut	Satu Putaran Penuh
Derajat Seksagesimal	360°
Derajat Sentiesimal	400°
Radian	2π radian

2. Derajat, Menit, dan Detik

Sudut sebesar satu derajat dapat dibagi menjadi 60 bagian yang sama besar, yang disebut sebagai menit busur, dan satu menit busur dapat dibagi menjadi 60 bagian yang sama besar, yang disebut sebagai detik busur, berikut:

1° = 60' = 3600''

1' = 60''

Derajat dilambangkan dengan (°), menit busur dilambangkan dengan ('), dan detik busur dilambangkan dengan ('')

Contoh:

5°11'23'' + 6°35'16'' = 11°46'39''

3. Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri adalah perbandingan ukuran sisi-sisi suatu segitiga siku-siku apabila ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.

Perhatikan gambar berikut:

Misal suatu segitiga ABC siku-siku di C, kita tinjau ∠BAC sebagai α, hubungan ketiga sisi segitiga terhadap sudut α adalah:

• Sisi y merupakan sisi depan (opposite)

• Sisi x merupakan sisi samping (adjacent)

• Sisi r merupakan sisi miring (hypotenuse)

Terdapat 6 perbandingan trigonometri, yaitu

• Sinus = Depan / Miring

• Kosinus = Samping / Miring

• Tangen = Depan / Samping

• Kosekan = Miring / Depan

• Sekan = Miring / Samping

• Kotangen = Samping / Depan

Contoh:

Diberikan segitiga siku-siku sebagai berikut:

Diketahui x = 4 dan y = 3;

r² = x² + y² = 4² + 3² = 25

r = sqrt(25) = 5

Berikut nilai perbandingan trigonometri sudut α:

sin(α) = y/r = ⅗

cos(α) = x/r = ⅘

tan(α) = y/x = 4/3

csc(α) = r/y = 5/3

sec(α) = r/x = 5/4

cot(α) = x/y = ¾

4. Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat (x, y) dalam sistem koordinat Cartesius dan (r, α) dalam sistem koordinat polar. Berikut gambaran gabungan koordinat Cartesius dan polar:

Dengan rumus Pythagoras diperoleh persamaan r² = x² + y² , selain itu hubungan trigonometri antara keduanya adalah x = r.cos α dan y = r.sin α. Berikut hubungan-hubungannya:

Catatan: Dalam mengkonversi dari koordinat cartesius ke kutub maupun kutub ke cartesius, perhatikan kuadrannya.

5. Kuadran

Diperlihatkan 2 garis lurus, satu mendatar (horisontal) dan satu tegak (vertikal). Garis mendatar disebut sumbu-x, sedangkan garis tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Pada sumbu x, di sebelah kanan O adalah bilangan real positif, dan di sebelah kiri O adalah bilangan real negatif. Sedangkan pada sumbu y, di atas O adalah bilangan real positif, dan di bawah O adalah bilangan real negatif.

Kedua sumbu membagi bidang cartesius menjadi 4 daerah yang disebut kwadran. Lihat gambar berikut:

Kwadran I terletak di sebelah kanan atas, Kwadran II terletak di sebelah kiri atas, Kwadran III terletak di sebelah kiri bawah, Kwadran IV terletak di sebelah kanan bawah. Letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y). Misalkan ada titik P(x, y) dalam hal ini x disebut absis titik P, sedangkan y disebut ordinat titik P.

6. Kecepatan Linier dan Kecepatan Sudut

Tinjau suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan konstan sepanjang lingkaran berjari-jari r. Jika s adalah panjang busur yang dilalui maka kecepatan linier v dari partikel tersebut adalah

v = s/t 

Jika θ adalah sudut yang bersesuaian dengan busur s maka kecepatan sudut ω dari partikel adalah

ω = θ/t

Contoh:

Bianglala dengan jari-jari 15m berputar 1,5 putaran per menit. Cari kecepatan sudut dan kecepatan liniernya.

a. Kecepatan sudut

Diketahui θ = 1,5 × 2π rad = 3π rad

t = 1 menit = 60 s

ω = θ/t = 3π ÷ 60 = 0,05π ≈ 0,157 rad/s

b. Kecepatan linier

s = θ.r = 3π × 15 = 45π m

t = 1 menit = 60 s

v = s/t = 45π/60 = 0,75π ≈ 2,356 m/s

Jadi, kecepatan sudutnya adalah 0,157 rad/s dan kecepatan liniernya adalah 2,356 m/s.