Trigonometri Sudut 18° dan kelipatannya (36°, 54°, 72°)

1. Trigonometri Sudut 18°

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan segitiga samakaki ABC dengan |AC| = |BC| = 1, dan |AB| = x, ∠ABC = ∠BAC = 72°, dan ∠ACB = 36°.

Bagi ∠BAC menjadi 2 bagian sama besar, masing-masing 36°.

Perhatikan segitiga ABD

∠ABD = ∠ADB = 72°, sehingga |AD| = |AB| = x

Perhatikan segitiga ACD

∠ACD = ∠CAD = 36°, sehingga |AD| = |CD| = x

Perhatikan sisi BC

|BD| = |BC| − |CD| = 1 − x

Perhatikan segitiga ABC dan ABD

(i) ∠ABC = ∠BAC = ∠ABD = ∠ADB = 72°

(ii) ∠ACB = ∠BAD = 36°

Segitiga ABC dan ABD sebangun, berlaku perbandingan:

x/1 = (1 − x)/x

x² = 1 − x

x² + x − 1 = 0

karena jarak harus positif,

misal titik E pada pertengahan AB, segitiga ACE siku-siku di E

∠ACE = 18°, ∠AEC = 90°

sehingga diperoleh:

untuk cos(18°), kita bisa menggunakan rumus Pythagoras:

dengan menggunakan identitas trigonometri, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya untuk sudut 18°.

2. Trigonometri Sudut 36°

Ingat kembali bahwa:

cos(2α) = 1 – 2.sin²(α)

cos(36°) = 1 – 2.sin²(18°)

dengan menggunakan identitas Pythagoras, akan kita peroleh sin(36°)

dengan menggunakan identitas trigonometri, kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya untuk sudut 36°.

3. Perbandingan Trigonometri Kelipatan 18°

Dengan menggunakan sudut-sudut yang berelasi, dapat kita tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut kelipatan 18°.

Berikut tabel nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut kelipatan 18° di kuadran I dan II:

Sedangkan berikut ini tabel nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut kelipatan 18° di kuadran III dan IV: