Trigonometri Sudut Rangkap

1. Sudut Rangkap Dua
• Rumus sudut rangkap dua untuk sinus
sin(2α) = sin(α + α) = sin(α).cos(α) + cos(α).sin(α) = 2.sin(α).cos(α)
• Rumus sudut rangkap dua untuk kosinus
cos(2α) = cos(α + α) = cos(α).cos(α) – sin(α).sin(α) = cos²(α) – sin²(α)
Ingat kembali identitas Pythagoras sin²(α) + cos²(α) = 1, sehingga bisa juga dinyatakan:
cos(2α) = 2.cos²(α) – 1
cos(2α) = 1 – 2.sin²(α)
• Rumus sudut rangkap dua untuk tangen
• Rumus sudut rangkap dua untuk kotangen
• Rumus sudut rangkap dua untuk sekan
• Rumus sudut rangkap dua untuk kosekan
AIO perbandingan trigonometri sudut rangkap dua:
bisa juga dinyatakan dalam bentuk tangen:

2. Sudut Setengah
• Rumus sudut setengah untuk sinus
Ingat kembali bahwa:
cos(2α) = 1 – 2.sin²(α)
2.sin²(α) = 1 – cos(2α)
sin²(α) = [1 – cos(2α)]/2
sin²(½α) = [1 – cos(α)]/2
tanda tergantung kuadran.
• Rumus sudut setengah untuk kosinus
Ingat kembali bahwa:
cos(2α) = 2.cos²(α) – 1
2.cos²(α) = 1 + cos(2α)
cos²(α) = [1 + cos(2α)]/2
cos²(½α) = [1 + cos(α)]/2
tanda tergantung kuadran
• Rumus sudut setengah untuk tangen
tan(½α) = sin(½α)/cos(½α)
dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan 1 + cos(α), diperoleh:
dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan 1 – cos(α), diperoleh:
• Rumus sudut setengah untuk kotangen
AIO rumus sudut setengah:

3. Sudut Rangkap Tiga
• Rumus sudut rangkap tiga untuk sinus
sin(3α) = sin(2α + α) = sin(2α).cos(α) + cos(2α).sin(α)
= 2.sin(α).cos(α).cos(α) + [1 – 2.sin²(α)].sin(α)
= sin(α).[2(1 – sin²(α)) + 1 – 2.sin²(α)]
= sin(α).[3 – 4.sin²(α)]
= 3.sin(α) – 4.sin³(α)
• Rumus sudut rangkap tiga untuk kosinus
cos(3α) = cos(2α + α) = cos(2α).cos(α) – sin(2α).sin(α)
= [2.cos²(α) – 1].cos(α) – 2.sin(α).cos(α).sin(α)
= cos(α).[2.cos²(α) – 1 – 2(1 – cos²(α))]
= cos(α).[4.cos²(α) – 3]
= 4.cos³(α) – 3.cos(α)
• Rumus sudut rangkap tiga untuk tangen
tan(3α) = tan(2α + α)
• Rumus sudut rangkap tiga untuk kotangen
cot(3α) = cot(2α + α)
• Rumus sudut rangkap tiga untuk sekan
sec(3α) = 1/cos(3α)
• Rumus sudut rangkap tiga untuk kosekan
csc(3α) = 1/sin(3α)
AIO rumus sudut rangkap tiga:

4. Sudut Rangkap Empat
• Rumus sudut rangkap empat untuk sinus
sin(4α) = sin(2(2α)) = 2.sin(2α).cos(2α)
= 2.2.sin(α).cos(α).[1 – 2.sin²(α)]
= 4.sin(α).cos(α) – 8.sin³(α).cos(α)
• Rumus sudut rangkap empat untuk kosinus
cos(4α) = cos(2(2α)) = 2.cos²(2α) – 1
= 2.[2.cos²(α) – 1]² – 1
= 8.cos⁴(α) – 8.cos²(α) + 2 – 1
= 8.cos⁴(α) – 8.cos²(α) + 1
• Rumus sudut rangkap empat untuk tangen
tan(4α) = tan(2(2α))
• Rumus sudut rangkap empat untuk kotangen
cot(4α) = cot(2(2α))
• Rumus sudut rangkap empat untuk sekan
sec(4α) = 1/cos(4α)
• Rumus sudut rangkap empat untuk sekan
csc(4α) = 1/sin(4α)
AIO rumus sudut rangkap empat:

5. Sudut Rangkap Lima
• Rumus sudut rangkap lima untuk sinus
sin(5α) = sin(3α + 2α) = sin(3α).cos(2α) + cos(3α).sin(2α)
= [3.sin(α) – 4.sin³(α)].[1 – 2.sin²(α)] + [4.cos³(α) – 3.cos(α)].2.sin(α).cos(α)
= 3.sin(α) – 6.sin³(α) – 4.sin³(α) + 8.sin⁵(α) + 8.sin(α).[1 – sin²(α)]² – 6.sin(α).[1 – sin²(α)]
= 3.sin(α) – 10.sin³(α) + 8.sin⁵(α) + 8.sin(α) – 16.sin³(α) + 8.sin⁵(α) – 6.sin(α) + 6.sin³(α)
= 5.sin(α) – 20.sin³(α) + 16.sin⁵(α)
• Rumus sudut rangkap lima untuk kosinus
cos(5α) = cos(3α + 2α) = cos(3α).cos(2α) – sin(3α).sin(2α)
= [4.cos³(α) – 3.cos(α)].[2.cos²(α) – 1] – [3.sin(α) – 4.sin³(α)].2.sin(α).cos(α)
= 8.cos⁵(α) – 4.cos³(α) – 6.cos³(α) + 3.cos(α) – 6.cos(α).[1 – cos²(α)] + 8.cos(α).[1 – cos²(α)]²
= 8.cos⁵(α) – 10.cos³(α) + 3.cos(α) – 6.cos(α) + 6.cos³(α) + 8.cos(α) – 16.cos³(α) + 8.cos⁵(α)
= 16.cos⁵(α) – 20.cos³(α) + 5.cos(α)
• Rumus sudut rangkap lima untuk tangen
tan(5α) = tan(3α + 2α)
AIO rumus sudut rangkap lima:

6. Reduksi Pangkat Kosinus dan Sinus
A. Reduksi pangkat kosinus
• Reduksi pangkat untuk cos²(α)
Ingat kembali:
cos(2α) = 2.cos²(α) – 1
2.cos²(α) = 1 + cos(2α)
cos²(α) = [1 + cos(2α)]/2
• Reduksi pangkat untuk cos³(α)
Ingat kembali:
cos(3α) = 4.cos³(α) – 3.cos(α)
4.cos³(α) = 3.cos(α) + cos(3α)
cos³(α) = [3.cos(α) + cos(3α)]/4
• Reduksi pangkat untuk cos⁴(α)
Ingat kembali:
cos(4α) = 8.cos⁴(α) – 8.cos²(α) + 1
8.cos⁴(α) = cos(4α) + 8.cos²(α) – 1, reduksi 8.cos²(α)
8.cos⁴(α) = cos(4α) + 4.[1 + cos(2α)] – 1
8.cos⁴(α) = cos(4α) + 4.cos(2α) + 3
cos⁴(α) = [3 + 4.cos(2α) + cos(4α)]/8
• Reduksi pangkat untuk cos⁵(α)
Ingat kembali:
cos(5α) = 16.cos⁵(α) – 20.cos³(α) + 5.cos(α)
16.cos⁵(α) = cos(5α) + 20.cos³(α) – 5.cos(α), reduksi 20.cos³(α)
16.cos⁵(α) = cos(5α) + 5[3.cos(α) + cos(3α)] – 5.cos(α)
16.cos⁵(α) = cos(5α) + 10.cos(α) + 5.cos(3α)
cos⁵(α) = [10.cos(α) + 5.cos(3α) + cos(5α)]/16
B. Reduksi pangkat sinus
• Reduksi pangkat untuk sin²(α)
Ingat kembali:
cos(2α) = 1 – 2.sin²(α)
2.sin²(α) = 1 – cos(2α)
sin²(α) = [1 – cos(2α)]/2
• Reduksi pangkat untuk sin³(α)
Ingat kembali:
sin(3α) = 3.sin(α) – 4.sin³(α)
4.sin³(α) = 3.sin(α) – sin(3α)
sin³(α) = [3.sin(α) – sin(3α)]/4
• Reduksi pangkat untuk sin⁴(α)
Ingat kembali:
cos(4α) = 8.cos⁴(α) – 8.cos²(α) + 1 = 8.[1 – sin²(α)]² – 8.[1 – sin²(α)] + 1
cos(4α) = 8 – 16.sin²(α) + 8.sin⁴(α) – 8 + 8.sin²(α) + 1
cos(4α) = –8.sin²(α) + 8.sin⁴(α) + 1
8.sin⁴(α) = cos(4α) + 8.sin²(α) – 1, reduksi 8.sin²(α)
8.sin⁴(α) = cos(4α) + 4.[1 – cos(2α)] – 1
8.sin⁴(α) = cos(4α) + 3 – 4.cos(2α)
sin⁴(α) = [3 – 4.cos(2α) + cos(4α)]/8
• Reduksi pangkat untuk sin⁵(α)
Ingat kembali:
sin(5α) = 5.sin(α) – 20.sin³(α) + 16.sin⁵(α)
16.sin⁵(α) = sin(5α) – 5.sin(α) + 20.sin³(α), reduksi 20.sin³(α)
16.sin⁵(α) = sin(5α) – 5.sin(α) + 5.[3.sin(α) – sin(3α)]
16.sin⁵(α) = sin(5α) + 10.sin(α) – 5.sin(3α)
sin⁵(α) = [10.sin(α) – 5.sin(3α) + sin(5α)]/16
AIO rumus reduksi pangkat kosinus dan sinus:
cos²(α) = [1 + cos(2α)]/2
cos³(α) = [3.cos(α) + cos(3α)]/4
cos⁴(α) = [3 + 4.cos(2α) + cos(4α)]/8
cos⁵(α) = [10.cos(α) + 5.cos(3α) + cos(5α)]/16
sin²(α) = [1 – cos(2α)]/2
sin³(α) = [3.sin(α) – sin(3α)]/4
sin⁴(α) = [3 – 4.cos(2α) + cos(4α)]/8
sin⁵(α) = [10.sin(α) – 5.sin(3α) + sin(5α)]/16

Contoh Soal
1. Buktikan bahwa tan(A) + cot(A) = 2/sin(2A)

2. Hitunglah cos²(18°) + cos²(54°)
lakukan manipulasi aljabar

3. Buktikan bahwa untuk segitiga ABC berlaku:
sin(A) + sin(B) – sin(C) = 4.sin(½A).sin(½B).cos(½C)
Bukti:
sin⁡(𝐴) + sin(⁡𝐵) − sin(⁡𝐶) = sin(⁡𝐴) + sin(⁡𝐵) − sin⁡[180° − (𝐴 + 𝐵)]
= sin(⁡𝐴) + sin⁡(𝐵) − sin⁡(𝐴 + 𝐵)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

2024: Aritmatika Jilid XII

Gambar
Aritmatika adalah event tahunan yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Dalam Aritmatika jilid XII terdapat tiga rangkaian acara yaitu Lomba Olimpiade Matematika, Lomba Media Pembelajaran Matematika Tingkat Nasional, dan Lomba Microteching tingkat Nasional. 1. Olimpiade Matematika Lomba ini diperuntukkan bagi siswa SMP, SMA, atau sederajat dari seluruh Indonesia. Lomba ini bersifat individu, tidak berkelompok. Setiap sekolah dibolehkan mengirimkan lebih dari satu delegasi. Timeline untuk olimpiade ini sebagai berikut: 1 s/d 20 Juli 2024: Pendaftaran Gelombang 1, dengan biaya pendaftaran Rp 40.000 untuk SMP dan Rp 45.000 untuk SMA. 22 Juli s/d 10 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 2, dengan biaya pendaftaran Rp 45.000 untuk SMP dan Rp 50.000 untuk SMA. 12 s/d 25 Agustus 2024: Pendaftaran Gelombang 3, dengan biaya pendaftaran Rp 50.000 untuk SMP dan Rp 55.000 untuk SMA. 1 September 2024: Technical Meeting (Online) 7 Septemb...
Read more »

2025: ONMIPA (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam)

Gambar
Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI) setiap tahun menyelenggarakan Olimpiade Nasional bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA-PT) untuk mengembangkan talenta dan prestasi mahasiswa di bidang sains, riset, dan teknologi. ONMIPA-PT merupakan salah satu upaya untuk memenuhi kebijakan Merdeka Belajar Kampus Merdeka (MBKM) dan Indeks Kinerja Utama (IKU) perguruan tinggi, yaitu memfasilitasi mahasiswa untuk berprestasi di berbagai kompetisi. ONMIPA-PT diharapkan dapat menumbuhkan kecintaan pada Matematika dan IPA, menemukan talenta-talenta terbaik di bidang ini, serta mendorong kualitas pembelajaran dan prestasi perguruan tinggi. ONMIPA-PT diselenggarakan untuk meningkatkan penguasaan Matematika dan IPA. Penguasaan MIPA penting untuk mendorong daya saing bangsa dalam pengembangan sains dan teknologi. ONMIPA-PT telah diselenggarakan sejak tahun 2009 dan terdiri dari tiga tahap seleksi, yaitu seleksi tingkat perguruan tinggi, tingkat wilayah, dan tingkat nas...
Read more »