Nilai Mutlak (Anril)

1. Definisi Nilai Mutlak

Misal a bilangan real. Nilai mutlak dari a, yang dituliskan |a|, didefinisikan sebagai:

|a| = a, untuk a ≥ 0

|a| = −a, untuk a < 0

Tambahan:

Menurut definisi, nilai mutlak tidak mungkin negatif, karena:

Untuk a > 0, |a| = a > 0

Untuk a = 0, |a| = a = 0

Untuk a < 0, maka −a > 0, sehingga |a| = −a > 0

Jadi, nilai mutlak hanya memungkinkan 0 atau positif, tidak mungkin negatif.

2. Teorema Nilai Mutlak Dasar

A. Nilai nol

|a| = 0 jika dan hanya jika a = 0

Bukti:

Menurut definisi nilai mutlak, jika a = 0 maka |a| = 0. Adapun jika a ≠ 0, untuk a > 0 nilai mutlak dari a adalah a, sehingga taknol. Untuk a < 0 nilai mutlak a adalah −a, yang lebih besar dari 0. ∎

B. Nilai mutlak invers penjumlahan

(∀a ∈ ℝ). |a| = |−a|

Bukti:

Jika a = 0, |a| = |0| = 0 = |−0| = |−a|

Jika a > 0, maka −a < 0. Sehingga |a| = a = −(−a) = |−a|

Jika a < 0, maka −a > 0. Sehingga |a| = −(−a) = a = |a| ∎

C. Nilai mutlak hasil kali

(∀a, b ∈ ℝ). |ab| = |a|⋅|b|

Bukti:

(i) Untuk a = 0 ∨ b = 0:

a⋅b = 0, sehingga |ab| = |0| = 0

|a| = 0 ∨ |b| = 0, sehingga |a|⋅|b| = 0

|ab| = |a|⋅|b| = 0

(ii) Untuk a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

Ingat kembali bahwa |a| = |−a|, juga |b| = |−b|

|a| = |−a|, yaitu bilangan yang positif dari a atau −a

|b| = |−b|, yaitu bilangan yang positif dari b atau −b

|a|⋅|b| adalah hasil kali bilangan yang positif dari a atau −a dan b atau −b, kemungkinan hasil kalinya adalah bilangan yang positif dari ab atau −ab, yaitu |ab|

Jadi, |a|⋅|b| = |ab| ∎

D. Interval nilai mutlak

Misal c ≥ 0. Nilai |a| ≤ c jika dan hanya jika −c ≤ a ≤ c.

Bukti:

(i) Jika |a| ≤ c maka −c ≤ a ≤ c

|a| ≤ c, berlaku hubungan a ≤ c dan −a ≤ c

−a ≤ c ↔ c ≥ −a, kalikan masing-masing ruas dengan −1

−c ≤ a, dan karena a ≤ c, menurut sifat transitif:

−c ≤ a ≤ c ∎

(ii) Jika −c ≤ a ≤ c maka |a| ≤ c

−c ≤ a dan a ≤ c

−c ≤ a ↔ a ≥ −c, kalikan masing-masing ruas dengan −1

−a ≤ c, dan karena a ≤ c, diperoleh:

|a| ≤ c ∎

selanjutnya dikarenakan |a| ≥ 0, boleh dimasukkan c = |a|, diperoleh:

−|a| ≤ a ≤ |a|

3. Ketaksamaan Segitiga (Dua Bilangan Real)

Misal a, b ∈ ℝ, berlaku ketaksamaan segitiga berikut:

A. Ketaksamaan segitiga

|a + b| ≤ |a| + |b|

Bukti:

Ingat kembali bahwa

−|a| ≤ a ≤ |a|, juga

−|b| ≤ b ≤ |b|, jumlahkan ruas-ruas yang bertepatan

−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|

karena |a| ≥ 0 dan |b| ≥ 0, maka |a| + |b| ≥ 0, sehingga bentuk ini dapat diubah menjadi

|a + b| ≤ |a| + |b| ∎

misal kita ganti b dengan −b, ketaksamaannya menjadi:

|a − b| ≤ |a| + |−b|, karena |−b| = |b|

|a − b| ≤ |a| + |b|

B. Nilai mutlak selisih

||a| − |b|| ≤ |a − b|

Bukti:

a = a − b + b, menurut ketaksamaan segitiga

|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|, tambahkan masing-masing ruas dengan −|b|

|a| − |b| ≤ |a − b|, terapkan cara yang sama untuk b, diperoleh

|b| − |a| ≤ |a − b|, kedua ketaksamaan ini memperoleh:

||a| − |b|| ≤ |a − b| ∎

misal kita ganti b dengan −b, ketaksamaannya menjadi:

||a| − |−b|| ≤ |a − (−b)|

||a| − |b|| ≤ |a + b|

dengan mengkonjungsikan poin (A) dan (B), dan menurut sifat transitif, diperoleh:

||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|, dan

||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|

4. Perluasan Ketaksamaan Segitiga

Misal a₁, a₂, ..., a_n ∈ ℝ, berlaku ketaksamaan segitiga berikut:

|a₁ + a₂ + ... + a_n| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_n|

Bukti:

Misal P(n): |a₁ + a₂ + ... + a_n| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_n|, ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ

• Langkah Basis

Tunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = 2

P(2): |a₁ + a₂| ≤ |a₁| + |a₂|, jelas benar menurut ketaksamaan segitiga

• Langkah Induksi

Asumsikan bahwa P(n) benar untuk n = k

P(k): |a₁ + a₂ + ... + a_k| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_k|

Akan ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1

Menurut ketaksamaan segitiga

P(k + 1): |a₁ + a₂ + ... + a_k + a_k+1| ≤ |a₁ + a₂ + ... + a_k| + |a_k+1|

telah diasumsikan |a₁ + a₂ + ... + a_k| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_k|, sehingga

|a₁ + a₂ + ... + a_k + a_k+1| ≤ |a₁ + a₂ + ... + a_k| + |a_k+1| ≤ |a₁| + |a₂| + ... + |a_k| + |a_k+1|

juga benar

• Langkah Konklusi

Karena telah ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = 2, dan telah diasumsikan bahwa P(n) benar untuk n = k, sehingga dapat ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = k + 1. Oleh karena itu, P(n) benar untuk setiap n bilangan asli lebih dari atau sama dengan 2.∎

5. Definisi Persekitaran

Misal a ∈ ℝ dan ε > 0. Persekitaran ε dari a adalah himpunan

V_ε(a) = {x ∈ ℝ: |x − a| < ε}, bisa juga ditulis dalam bentuk interval

V_ε(a) = {x ∈ ℝ: −ε < x − a < ε} = {x ∈ ℝ: a − ε < x < a + ε}

6. Teorema Persekitaran

Misal a, b ∈ ℝ, berlaku teorema berikut:

A. Teorema Keterhimpitan

Jika x ∈ V_ε(a) untuk setiap ε > 0, maka x = a

Bukti:

Ingat kembali teorema keterhimpitan dengan 0

Misal a ∈ ℝ, jika 0 ≤ a < ε untuk setiap ε > 0, maka a = 0

gantikan a dengan |x − a|

Jika 0 ≤ |x − a| < ε untuk setiap ε > 0, maka |x − a| = 0

diketahui x ∈ V_ε(a) untuk setiap ε > 0, maka 0 ≤ |x − a| < ε untuk setiap ε > 0, sehingga

|x − a| = 0, karena nilai mutlaknya 0, diharuskan 0

x − a = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan a

x = a ∎

B. Teorema Saling Lepas

Jika a ≠ b, maka ∃ε > 0 ∋ V_ε(a) ∩ V_ε(b) = ∅

Bukti:

Misal a < b, dan dipilih ε = ½(b − a)

V_ε(a) = {x ∈ ℝ: a − ½(b − a) < x < a + ½(b − a)} = {x ∈ ℝ: (3/2)a − ½b < x < ½a + ½b}

V_ε(b) = {x ∈ ℝ: b − ½(b − a) < x < b + ½(b − a)} = {x ∈ ℝ: ½a + ½b < x < −½a + (3/2)b}

Perlu diketahui bahwa ½a + ½b ∉ V_ε(a), juga ½a + ½b ∉ V_ε(b), karena tanda yang dipakai adalah "<", bukan "≤".

Oleh karena itu V_ε(a) ∩ V_ε(b) = ∅ ∎