Operasi Biner dan Sifat Aljabar Bilangan Real

1. Aksioma Dasar Operasi Biner pada Bilangan Real

Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi yang memetakan dari A × A ke A. Operasi biner pada bilangan real adalah fungsi yang memetakan dari dua pasangan terurut bilangan real ke bilangan real.

Misal a, b, c ∈ R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), berlaku sifat-sifat dasar:

A. Sifat Komutatif Penjumlahan

a + b = b + a

B. Sifat Asosiatif Penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)

C. Eksistensi Identitas Penjumlahan

(∃0 ∈ R) ∋ a + 0 = 0 + a = a

0 disebut elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.

D. Eksistensi Invers Penjumlahan

(∃ −a ∈ R) ∋ a + (−a) = (−a) + a = 0

−a disebut elemen invers dari a terhadap operasi penjumlahan.

E. Sifat Komutatif Perkalian

a⋅b = b⋅a

terkadang a⋅b dituliskan ab

F. Sifat Asosiatif Penjumlahan

(a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)

G. Eksistensi Identitas Perkalian

(∃1 ∈ R) dengan 1 ≠ 0 ∋ a⋅1 = 1⋅a = a

1 disebut elemen identitas terhadap operasi perkalian.

H. Eksistensi Invers Perkalian

(∀a ≠ 0)(∃ 1/a ∈ R) ∋ a ⋅ (1/a) = (1/a) ⋅ a = 1

1/a disebut elemen invers dari a terhadap operasi penjumlahan. Adapun untuk a = 0, a tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian. Elemen 0 yang tidak memiliki invers ini disebut sebagai elemen singular terhadap operasi perkalian.

I. Sifat Distributif

a ⋅ (b + c) = a⋅b + a⋅c

Tambahan:

Penjumlahan maupun perkalian keduanya memiliki operasi invers, yang didefinisikan sebagai:

Invers dari operasi penjumlahan adalah operasi pengurangan, didefinisikan a − b = a + (−b)

Invers dari operasi perkalian adalah operasi pembagian, didefinisikan a ÷ b = a ⋅ (1/b), untuk b ≠ 0

2. Ketunggalan Identitas Penjumlahan dan Perkalian

A. Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan bersifat tunggal

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (∀a, b ∈ R) jika a + b = a maka b = 0.

a + b = a, tambahkan masing-masing ruas dengan (−a)

(−a) + a + b = (−a) + a, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(−a) + a] + b = 0

0 + b = 0

b = 0 ∎

B. Elemen identitas terhadap operasi perkalian bersifat tunggal

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (∀a, b ∈ R) jika a ≠ 0 dan a⋅b = a maka b = 1.

a ≠ 0 berarti (1/a) ada

a⋅b = a, kalikan masing-masing ruas dengan (1/a)

(1/a) ⋅ a ⋅ b = (1/a) ⋅ a, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(1/a) ⋅ a] ⋅ b = 1

1 ⋅ b = 1

b = 1 ∎

3. Ketunggalan Invers Penjumlahan dan Perkalian

A. Elemen invers terhadap operasi penjumlahan bersifat tunggal

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (∀a, b ∈ R) jika a + b = 0 maka b = −a.

a + b = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan (−a)

(−a) + a + b = (−a) + 0, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(−a) + a] + b = −a

0 + b = −a

b = −a ∎

B. Elemen invers terhadap operasi perkalian bersifat tunggal untuk elemen taknol

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (∀a, b ∈ R) jika a ≠ 0 dan a⋅b = 1 maka b = 1/a.

a ≠ 0 berarti 1/a ada

a⋅b = 1, kalikan masing-masing ruas dengan (1/a)

(1/a) ⋅ a ⋅ b = (1/a) ⋅ 1, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(1/a) ⋅ a] ⋅ b = 1/a

1 ⋅ b = 1/a

b = 1/a ∎

4. Ketunggalan Solusi Persamaan Linear Satu Variabel

A. Solusi persamaan linear satu variabel berbentuk penjumlahan bersifat tunggal

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa solusi persamaan a + x = b tunggal, yaitu x = −a + b

a + x = b, tambahkan masing-masing ruas dengan (−a)

(−a) + a + x = (−a) + b, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(−a) + a] + x = −a + b

0 + x = −a + b

x = −a + b ∎

B. Solusi persamaan linear satu variabel berbentuk perkalian bersifat tunggal

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika a ≠ 0 maka solusi persamaan a ⋅ x = b tunggal, yaitu x = 1/a ⋅ b

a ≠ 0 berarti 1/a ada

a⋅x = b, kalikan masing-masing ruas dengan (1/a)

(1/a) ⋅ a ⋅ x = (1/a) ⋅ b, gunakan sifat asosiatif pada ruas kiri

[(1/a) ⋅ a] ⋅ x = (1/a) ⋅ b

1 ⋅ x = (1/a)⋅b

x = (1/a)⋅b ∎

5. Perkalian yang Berkaitan dengan Invers dan Identitas Penjumlahan

A. Identitas penjumlahan mendominasi operasi perkalian

Bilangan real berapapun dikalikan 0 hasilnya adalah 0.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa a⋅0 = 0

Ingat kembali sifat identitas perkalian

a + a⋅0 = a⋅1 + a⋅0

= a⋅(1 + 0)

= a⋅1

= a

tambahkan −a di masing-masing ruas

−a + a + a⋅0 = −a + a

0 + a⋅0 = 0

a⋅0 = 0 ∎

B. Perkalian dengan invers penjumlahan

(−1)⋅a = −a

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (−1)⋅a = −a

(−1)⋅a + a = (−1)⋅a + 1⋅a

= (−1 + 1)⋅a

= 0⋅a

= 0

tambahkan −a di masing-masing ruas

(−1)⋅a + a + (−a) = 0 + (−a)

(−1)⋅a + 0 = −a

(−1)⋅a = −a ∎

C. Dobel Invers Penjumlahan

−(−a) = a

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa −(−a) = a

a + (−a) = −a + a, tambahkan −(−a) di masing-masing ruas

−(−a) + a + (−a) = −(−a) + (−a) + a

−(−a) + 0 = 0 + a

−(−a) = a ∎

D. Hasil Kali −1 dengan Dirinya Sendiri

(−1)⋅(−1) = 1

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa (−1)⋅(−1) = 1

(−1)⋅(−1) + (−1) = (−1)⋅(−1) + 1⋅(−1)

= (−1 + 1)⋅(−1)

= 0⋅(−1)

= 0

tambahkan masing-masing ruas dengan 1

(−1)⋅(−1) + (−1) + 1 = 0 + 1

(−1)⋅(−1) + 0 = 1

(−1)⋅(−1) = 1 ∎

6. Sifat-Sifat Lainnya Terkait Perkalian

A. Dobel Invers Perkalian

Jika a ≠ 0 maka 1/a ≠ 0 dan 1/(1/a) = a

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika a ≠ 0 maka 1/a ≠ 0 dan 1/(1/a) = a

a ≠ 0 berarti 1/a ada

(i) Jika a ≠ 0 maka 1/a ≠ 0

Andaikan 1/a = 0, kalikan masing-masing ruas dengan a

a⋅(1/a) = a⋅0

1 = 0, kontradiksi dengan identitas perkalian dimana 1 ≠ 0.

Oleh karena itu pengandaian harus diingkar, dan yang benar adalah 1/a ≠ 0.

(ii) Jika a ≠ 0 maka 1/(1/a) = a

a⋅(1/a) = (1/a)⋅a, kalikan masing-masing ruas dengan 1/(1/a)

[1/(1/a)]⋅a⋅(1/a) = [1/(1/a)]⋅(1/a)⋅a

[1/(1/a)]⋅1 = 1⋅a

1/(1/a) = a ∎

B. Kanselasi Perkalian

Jika a⋅b = a⋅c dan a ≠ 0 maka b = c

Bukti:

a ≠ 0 berarti 1/a ada

Diberikan a⋅b = a⋅c

kalikan masing-masing ruas dengan 1/a

(1/a)⋅a⋅b = (1/a)⋅a⋅c

1⋅b = 1⋅c

b = c ∎

C. Hasil Kali Nol

Jika a⋅b = 0 maka a = 0 ∨ b = 0

Bukti:

Terdapat dua kemungkinan untuk a, yaitu a = 0 atau a ≠ 0.

(i) Untuk a = 0

Untuk a = 0 jelas terpenuhi a = 0 ∨ b = 0.

(ii) Untuk a ≠ 0

a ≠ 0 berarti 1/a ada

diberikan a⋅b = 0

kalikan masing-masing ruas dengan 1/a

(1/a)⋅a⋅b = (1/a)⋅0

1⋅b = 0

b = 0

Untuk a ≠ 0, diharuskan b = 0. Oleh karena itu terpenuhi a = 0 ∨ b = 0.

∴ a = 0 ∨ b = 0 ∎

7. Irasionalitas Akar

Klaim:

√2 bukan bilangan rasional

Bukti:

Andaikan √2 bilangan rasional, berarti dapat dinyatakan sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0.

√2 = p/q ↔ (p/q)² = 2 ↔ p² = 2q²

* Untuk p dan q tidak koprim, bentuk p/q dapat disederhanakan sehingga menjadi pecahan sederhana dengan pembilang dan penyebutnya koprim. Oleh karena itu, diasumsikan p dan q koprim.

* Untuk p dan q ada yang negatif, karena (p/q)² berbentuk kuadrat, hasilnya menjadi positif. Oleh karena itu, diasumsikan p dan q keduanya positif.

Mempertimbangkan ini, diasumsikan p dan q keduanya positif dan keduanya koprim.

Karena p² = 2q², maka p² bilangan genap, akibatnya p bilangan genap. Dan dikarenakan p dan q koprim, diharuskan q bilangan ganjil, karena FPB dari dua bilangan genap adalah bilangan genap.

∴ q bilangan ganjil ...(i)

Selanjutnya karena p bilangan genap, ∃ bilangan bulat k ∋ p = 2k.

(2k)² = 2q² ↔ 4k² = 2q², bagi masing-masing ruas dengan 2

q² = 2k², ini berarti q² bilangan genap, akibatnya q bilangan genap.

∴ q bilangan genap ...(ii)

Mustahil (i) dan (ii) keduanya benar bersamaan, dimana q bilangan ganjil dan q bilangan genap.

Kemustahilan ini mengharuskan pengandaian diingkar, dan yang benar adalah √2 bukan bilangan rasional. ∎