Penggunaan Trigonometri pada Lingkaran

1. Panjang Talibusur dan Apotema Lingkaran Berdasarkan Sudut Pusat

Diberikan lingkaran berpusat di O, titik A dan B pada lingkaran, titik P pada pertengahan AB.

Segmen AO dan BO merupakan jari-jari lingkaran, segmen AB merupakan talibusur lingkaran, segmen OP merupakan apotema.

A. Panjang Talibusur

Perhatikan segitiga AOP

|AP| = |AO|.sin(∠AOP) = r.sin(½∠AOB), sehingga

|AB| = 2r.sin(½∠AOB)

Misal ∠AOB = α, diperoleh:

|AB| = 2r.sin(½α) = d.sin(½α)

Jadi, panjang talibusur adalah dua kali panjang jari-jari dikali sinus setengah sudut pusat.

B. Panjang Apotema

Perhatikan segitiga AOP

|OP| = |AO|.cos(∠AOP) = r.cos(½∠AOB), sehingga

Misal ∠AOB = α, diperoleh:

|OP| = r.cos(½α)

Jadi, panjang apotema adalah panjang jari-jari dikali kosinus setengah sudut pusat.

2. Luas Segitiga Pusat Lingkaran

Diberikan lingkaran berpusat di O, titik A dan B pada lingkaran, titik P pada pertengahan AB.

Segmen AO dan BO merupakan jari-jari lingkaran, segmen AB merupakan talibusur lingkaran, segmen OP merupakan apotema.

Pada poin sebelumnya telah diperoleh:

|AB| = 2r.sin(½α), yang mana merupakan alas segitiga AOB

|OP| = r.cos(½α), yang mana merupakan tinggi segitiga AOB

Sehingga luasnya adalah

[AOB] = ½ × 2r × sin(½α) × r × cos(½α)

= ½ × r² × 2.sin(½α).cos(½α)

= ½ × r² × sin(α)

Jadi, luas AOB adalah ½.r².sin(α)

dengan kata lain, luas segitiga pusat lingkaran adalah setengah kuadrat jari-jari dikali sinus sudut pusat.

3. Luas Tembereng

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan lingkaran dengan jari-jari r. Misal suatu juring dengan sudut pusat α, luasnya adalah:

Digambarkan bahwa talibusur lingkaran mempartisi juring menjadi segitiga dan tembereng, sehingga luas tembereng adalah luas juring dikurangi luas segitiga.

4. Sagitta

Perhatikan gambar berikut:

Sagitta adalah segmen garis yang tegak lurus talibusur dengan titik-titik ujungnya adalah, satu titik di pertengahan talibusur dan satu titik pada lingkaran.

Panjang sagitta adalah panjang jari-jari dikurangi panjang apotema.

x = r − r.cos(½α) = r.[1 − cos(½α)]