Persamaan Diferensial Homogen
1. Fungsi Homogen
Misal f fungsi dua variabel x dan y, fungsi f dikatakan homogen berderajat n jika berlaku:
f(kx, ky) = kⁿ.f(x, y); k ∈ ℝ
contoh:
f(x, y) = x² + 3xy + 2y², masukkan kx dan ky
f(kx, ky) = (kx)² + 3(kx)(ky) + 3(ky)² = k²x² + 3k²xy + 2k²y² = k²(x² + 3xy + 2y²)
fungsi ini merupakan fungsi homogen berderajat 2.
2. Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan diferensial berbentuk
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) keduanya fungsi homogen berderajat sama.
3. Langkah Menyelesaikan Perdif Homogen
Misal suatu Perdif berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 homogen, berikut langkah penyelesaiannya:
1. Misalkan y = vx → dy = v dx + x dv, akan membentuk Perdif separabel dalam v dan x.
2. Selesaikan Perdif separabel yang terbentuk.
3. Kembalikan ke bentuk semula, yaitu v = y/x.
Catatan:
Perlu berhati-hati dengan Perdif yang mana M(x, y) dan N(x, y) keduanya fungsi homogen tetapi derajatnya berbeda, karena tidak bisa diselesaikan menggunakan metode Perdif homogen.
contoh:
(x − y) dx + 2xy dy = 0
x − y merupakan fungsi homogen berderajat 1, sedangkan 2xy fungsi homogen berderajat 2.
Misal y = vx → dy = v dx + x dv
(x − vx)dx + 2xvx(v dx + x dv) = 0
x(1 − v + xv²)dx + (2x³v)dv, bentuk ini tidak separabel.
Contoh Soal
1. (x² + 2y²)dx + (3xy)dy = 0
Misal y = vx → dy = v dx + x dv
(x² + 2(vx)²)dx + (3xvx)(v dx + x dv) = 0
(x² + 2x²v² + 3x²v²)dx + (3x³v)dv = 0, bagi dengan x²
(1 + 5v²)dx + (3xv)dv = 0
(1/x) dx + 3v/(1 + 5v²) dv = 0
(1/x) dx = −3v/(1 + 5v²) dv
10⋅ln|x| = −3⋅ln(1 + 5v²) + C₃, eksponensialkan masing-masing ruas
x¹⁰ = C₄⋅(1 + 5v²)⁻³
x¹⁰⋅(1 + 5v²)³ = x¹⁰⋅(1 + 5(y/x)²)³ = C₄
x¹⁰⋅(1 + 15y²/x² + 75y⁴/x⁴ + 125y⁶/x⁶) = C₄
x¹⁰ + 15y²x⁸ + 75y⁴x⁶ + 125y⁶x⁴ = C₄
2. (2x)dy − [2y − √(x² + 4y²)]dx = 0
Misal y = vx → dy = v dx + x dv
(2x)(v dx + x dv) − [2vx − √(x² + 4(vx)²)]dx = 0
√(x² + 4v²x²)dx + (2x²)dv = 0
x√(1 + 4v²)dx = (−2x²)dv
−1/(2x) dx = 1/√(1 + 4v²) dv
Integral kiri:
−∫1/(2x) dx = −½⋅ln|x| + C₁
Integral kanan:
∫1/√(1 + 4v²) dv
Misal v = ½⋅tan(u) ↔ u = tan⁻¹(2v)
dv = ½⋅sec²(u) du
= ∫1/(2t) dt = ½⋅ln|t| + C₂
= ½⋅ln|sec(u) + tan(u)| + C₂
= ½⋅ln|sec(tan⁻¹(2v)) + 2v| + C₂
= ½⋅ln|√(1 + 4v²) + 2v| + C₂
kembali ke persamaan
−½⋅ln|x| + C₁ = ½⋅ln|√(1 + 4v²) + 2v| + C₂, kalikan masing-masing ruas dengan −2
ln|x| = −ln|√(1 + 4v²) + 2v| + C₃, eksponensialkan masing-masing ruas
|x| = C₄⋅|√(1 + 4v²) + 2v|⁻¹ = C₄⋅|√(1 + 4(y/x)²) + 2y/x|⁻¹
|x|⋅|√(1 + 4(y/x)²) + 2y/x| = C₄
|x√(1 + 4y²) + 2y| = C₄
3. dy/dx = 1 + y/x, dengan y(2) = 5
dy/dx = (x + y)/x
x dy = (x + y)dx
Misal y = vx → dy = v dx + x dv
x(v dx + x dv) = (x + vx)dx
(vx − x − vx)dx = −x² dv
−x(dx) = −x² dv
∫(1/x) dx = ∫dv
ln|x| + C₁ = v + C₂
ln|x| = v + C₃, masukkan y(2) = 5
ln(2) = 5/2 + C₃
C₃ = ln(2) − 5/2
eksponensialkan masing-masing ruas
|x| = exp[ln(2) − 5/2]⋅exp(v) = 2⋅exp[−5y/2x]
|x|/exp[−5y/2x] = 2
4. (x³ − y³)dx + (xy²)dy = 0
Misal y = vx → dy = v dx + x dv
[x³ − (vx)³]dx + [x(vx)²](v dx + x dv) = 0
[x³ − v³x³ + x³v³]dx + (v²x⁴)dv = 0
dx = v²x dv
1/x dx = v² dv
∫1/x dx = ∫v² dv
ln|x| + C₁ = ⅓v³ + C₂
3⋅ln|x| = v³ + C₂
3⋅ln|x| = v³ + C₃, eksponensialkan masing-masing ruas
3⋅|x| = C₄⋅exp(v³)
3⋅|x|/exp(y³/x³) = C₄
Komentar
Posting Komentar