Persamaan Diferensial Linier Orde 1
Persamaan diferensial linier orde satu dengan variabel terikat y dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk:
dy/dx + P(x)⋅y = Q(x)
Bentuk lain
[P(x)⋅y − Q(x)]dx + dy = 0
Perdif linier orde satu memiliki faktor integral
μ(x) = exp[∫P(x) dx]
Langkah-langkah untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai berikut:
1. Nyatakan perdif linier orde 1 dalam bentuk standar
dy/dx + P(x)⋅y = Q(x)
2. Tentukan faktor integral
μ(x) = exp[∫P(x) dx]
3. Bentuk persamaan
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
Contoh Soal
1. (x)dy/dx + (x + 1)y = x³
bagi masing-masing ruas dengan x
dy/dx + (1 + 1/x)y = x²
P(x) = 1 + 1/x, Q(x) = x²
μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫1 + 1/x dx] = exp(x + ln(x)) = x⋅exp(x); untuk x > 0
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
2. dy/dx + 3y/x = 6x²
P(x) = 3/x, Q(x) = 6x²
μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫3/x dx] = exp[3.ln(x)] = x³
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
y.x³ = ∫x³.6x² dx + C = ∫6x⁵ dx + C = x⁶ + C
y = x³ + C/x³
3. dy/dx + 3y = 3x²⋅exp(−3x)
P(x) = 3, Q(x) = 3x²⋅exp(−3x)
μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫3 dx] = exp(3x)
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
y.exp(3x) = ∫exp(3x).3x²⋅exp(−3x) dx + C = ∫3x² dx + C = x³ + C
y = exp(−3x).[x³ + C]
4. dy/dx = exp(2x) + 3y
dy/dx − 3y = exp(2x)
P(x) = −3, Q(x) = exp(2x)
μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫−3 dx] = exp(−3x)
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
y.exp(−3x) = ∫exp(−3x).exp(2x) dx + C = ∫exp(−x) dx + C = −exp(−x) + C
y = −exp(2x) + C.exp(3x)
5. dx/dt + x/t² = 1/t²
P(t) = 1/t², Q(t) = 1/t²
μ(t) = exp[∫P(t) dt] = exp[∫1/t² dt] = exp(−1/t)
x.μ(t) = ∫μ(t).Q(t) dt + C
x.exp(−1/t) = ∫exp(−1/t).(1/t²) dt + C = exp(−1/t) + C
x = 1 + C.exp(1/t)
6. (x)dy/dx − 2y = 2x⁴
bagi masing-masing ruas dengan x
dy/dx − 2y/x = 2x³
P(x) = −2/x, Q(x) = 2x³
μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫−2/x dx] = exp[−2.ln(x)] = x⁻²
y.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C
y.x⁻² = ∫x⁻².2x³ dx + C = ∫x dx + C = x²/2 + C
y = x⁴/2 + C.x²
7. (x² + 1) dy/dx + 4xy = x; y(2) = 1
bagi masing-masing ruas dengan x² + 1
y = [1/μ(x)].[∫μ(x).Q(x) dx + C]
C = 19
Komentar
Posting Komentar