Persamaan Diferensial Separabel

Untuk Persamaan Diferensial Separabel orde satu yang berbentuk y′ = f(x), dimana f fungsi kontinu dari satu variabel bebas x, maka kita dapat mengintegralkan secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesainnya.

Bentuk umum:

dy/dx = f(x, y)

Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan diferensial separabel, terlebih dahulu kita pisahkan variabel x dan y, sehingga kita peroleh fungsi f(x, y) = p(x).q(y)

Contoh

1. (xy)dx + (1 + x²)dy = 0

(1 + x²)dy = (−xy)dx

Misal u = 1 + x²; du = 2x dx; −½du = −x dx

eksponenkan kedua ruas

2. 

Bentuk ini juga merupakan Perdif separabel, coba faktorkan masing-masing pembilang dan penyebut.

integralkan masing-masing ruas

Misal u = 4 + y ↔ y = u − 4 → du = dy

v = 1 − x² → dv = −2x dx ↔ −½dv = x dx

kembalikan ke bentuk semula
4 + y − 4⋅ln|4 + y| + C₁ = −½⋅ln|1 − x²| + C₂

y − 4⋅ln|4 + y| + ½⋅ln|1 − x²| = C₃

3. dy/dx = cot(x)⋅tan(y)

cot(y) dy = cot(x) dx

∫cot(⁡y) dy = ∫cot(⁡x) dx

ln|sin(y)| + C₁ = ln|sin(x)| + C₂

ln|sin(y)| = ln|sin(x)| + C₃, eksponensialkan masing-masing ruas

|sin(y)| = e^C₃⋅|sin(x)| = C₄⋅|sin(x)|

sin(y) = ±C₄⋅|sin(x)|

y = sin⁻¹(±C₄⋅|sin(x)|)

4. (x) dy/dx + 2y² = 2

dy/dx = (2 − 2y²)/x

Integralkan ruas kiri

¼⋅ln|1 + y| + ¼⋅ln|1 − y| + C₁ = ln|x| + C₂, kalikan masing-masing ruas dengan 4

ln|1 − y²| = 4⋅ln|x| + C₃, eksponensialkan masing-masing ruas

|1 − y²| = e^C₃⋅x⁴

1 − y² = ±C₄⋅x⁴

y² = 1 ± C₄⋅x⁴