Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan diferensial Bernoulli dengan variabel terikat y dan variabel bebas x, dapat ditulis dalam bentuk:

dy/dx + P(x)⋅y = Q(x)⋅yⁿ

dengan memisalkan v = y¹⁻ⁿ akan diperoleh:

bentuk persamaan akan berubah menjadi Perdif linier orde 1 dalam v dan x, sehingga dapat diselesaikan menggunakan Perdif linier orde 1.

Contoh Soal

1. Diberikan persamaan diferensial

bagi masing-masing ruas dengan (x³ + 1), persamaannya akan menjadi

bentuk ini merupakan Perdif Bernoulli, selanjutnya bagi masing-masing ruas dengan y²

Misal v = y¹⁻² = y⁻¹ → dv/dx = −y⁻²⋅(dy/dx) ↔ y⁻²⋅(dy/dx) = −dv/dx, persamaannya menjadi

kalikan masing-masing ruas dengan −1

integralkan P(x)

eksponensialkan, diperoleh faktor integral

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[ln(x³ + 1)⁻²] = (x³ + 1)⁻²

diperoleh v.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C

v(x³ + 1)⁻² = ∫−6x²(x³ + 1)⁻³ dx + C

Misal u = x³ + 1 → du = 3x² dx ↔ −6x² dx = −2du

vu⁻² = ∫−2u⁻³ du + C = u⁻² + C, kalikan masing-masing ruas dengan u²

v = 1 + u²C, kembalikan u = x³ + 1, v = y⁻¹

y⁻¹ = 1 + (x³ + 1)²C

2. Diberikan persamaan diferensial

bagi masing-masing ruas dengan x²
dy/dx + y/x = y³x, bagi masing-masing ruas dengan y³

Misal v = y¹⁻³ = y⁻² → dv/dx = −2y⁻³⋅(dy/dx) ↔ y⁻³⋅(dy/dx) = −½dv/dx, persamaannya menjadi

−½dv/dx + v/x = 1/x, kalikan masing-masing ruas dengan −2

dv/dx − 2v/x = −2/x

P(x) = −2/x, Q(x) = −2/x

integralkan P(x)

∫P(x) dx = ∫−2/x dx = −2⋅ln|x| = ln(x⁻²)

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[ln(x⁻²)] = x⁻²

v.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C

vx⁻² = ∫−2x⁻³ dx + C = x⁻² + C, kalikan masing-masing ruas dengan x², kembalikan v = y⁻²

y⁻² = 1 + x²C

3. Diberikan persamaan diferensial

dengan nilai awal y(0) = 2.

Perhatikan bahwa dengan pengoperasian dapat diperoleh bentuk

tambahkan masing-masing ruas dengan y

kalikan masing-masing ruas dengan y

misal v = y² → dv/dx = 2y dy/dx ↔ y dy/dx = ½dv/dx, persamaannya menjadi

kalikan masing-masing ruas

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[∫2 dx] = exp(2x)

masukkan nilai awal y(0) = 2

2².exp(0) = 0 + C ↔ C = 4

4. Diberikan persamaan diferensial

bagi masing-masing ruas dengan x²

bagi masing-masing ruas dengan y³

Misal v = y¹⁻³ = y⁻² → dv/dx = −2y⁻³⋅(dy/dx) ↔ y⁻³⋅(dy/dx) = −½dv/dx, persamaannya menjadi

−½dv/dx + v/x = 1/x³, kalikan masing-masing ruas dengan −2

dv/dx − 2v/x = −2/x³

P(x) = −2/x, Q(x) = −2/x³

integralkan P(x)

∫P(x) dx = ∫−2/x dx = −2⋅ln|x| = ln(x⁻²)

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[ln(x⁻²)] = x⁻²

v.μ(x) = ∫μ(x).Q(x) dx + C

vx⁻² = ∫−2x⁻⁵ dx + C = ½x⁻⁴ + C, kalikan masing-masing ruas dengan x²

v = y⁻² = ½x⁻² + x²C, masukkan y(1) = 1

1⁻² = ½ + C ↔ C = ½

y⁻² = ½x⁻² + ½x²