Persamaan Diferensial Non-Eksak dan Faktor Integrasi

Misal suatu persamaan diferensial

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

persamaan diferensial dalam bentuk ini dikatakan eksak jika berlaku

sebaliknya, persamaan diferensial dalam bentuk ini dikatakan non-eksak jika

Perdif non-eksak masih memiliki kemungkinan untuk diubah menjadi eksak menggunakan faktor integrasi. Lalu, bagaimana cara menentukan faktor integrasinya? Silahkan coba cek salahsatu:

Ingat! jika bisa maka silahkan digunakan, jika tidak bisa silahkan cek yang lain.

1. Cek untuk P(x)

Jika P(x) merupakan fungsi terhadap x saja yang tidak bergantung pada y, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya:

μ(x) = exp[∫P(x) dx]

kalikan faktor integrasi ke persamaan awal:

μ(x)⋅M(x, y) dx + μ(x)⋅N(x, y) dy = 0

bentuk ini menjadi Perdif eksak, sehingga dapat diselesaikan menggunakan Perdif eksak.

2. Cek untuk Q(y)

Jika Q(y) merupakan fungsi terhadap y saja yang tidak bergantung pada x, maka kita dapat menentukan faktor integrasinya:

μ(y) = exp[∫Q(y) dy]

kalikan faktor integrasi ke persamaan awal:

μ(y)⋅M(x, y) dx + μ(y)⋅N(x, y) dy = 0

bentuk ini menjadi Perdif eksak, sehingga dapat diselesaikan menggunakan Perdif eksak.

Misal ternyata P(x) dan Q(y) dua-duanya tidak sesuai harapan, Sad but true, kita tidak bisa menyelesaikannya menggunakan metode ini.

Contoh Soal

1. (5xy + 4y² + 1)dx + (x² + 2xy)dy = 0

Cek eksak

Bukan Perdif eksak.

∫P(x) dx = ∫3/x dx = 3⋅ln|x| = 3⋅ln(x); x > 0

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[3⋅ln(x)] = x³, kalikan ke persamaan awal, diperoleh

x³(5xy + 4y² + 1)dx + x³(x² + 2xy)dy = 0

(5x⁴y + 4x³y² + x³)dx + (x⁵ + 2x⁴y)dy = 0

Cek eksak

F(x, y) = ∫M(x, y) dx + h(y) = ∫(5x⁴y + 4x³y² + x³)dx + h(y) = x⁵y + x⁴y² + x⁴/4 + h(y)

∂F/∂y = x⁵ + 2x⁴y + h'(y) = N(x, y) = x⁵ + 2x⁴y

h'(y) = 0

h(y) = ∫0 dy = C₁

F(x, y) = x⁵y + x⁴y² + x⁴/4 + C₁ = C₂

x⁵y + x⁴y² + x⁴/4 = C₃; dengan C₃ = C₂ – C₁

2. (x² + y² + 3)dx – (2xy)dy = 0

Cek eksak

Bukan Perdif eksak.

∫P(x) dx = ∫–2/x dx = –2⋅ln|x|

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[–2⋅ln|x|] = x⁻², kalikan ke persamaan awal, diperoleh

x⁻²(x² + y² + 3)dx + x⁻²(–2xy)dy = 0

(1 + x⁻²y² + 3x⁻²)dx + (–2x⁻¹y)dy = 0

Cek eksak

F(x, y) = ∫M(x, y) dx + h(y) = ∫(1 + x⁻²y² + 3x⁻²)dx + h(y) = x – x⁻¹y² – 3x⁻¹ + h(y)

∂F/∂y = –2x⁻¹y + h'(y) = N(x, y) = –2x⁻¹y

h'(y) = 0

h(y) = ∫0 dy = C₁

F(x, y) = x – x⁻¹y² – 3x⁻¹ + C₁ = C₂

x – x⁻¹y² – 3x⁻¹ = C₃; dengan C₃ = C₂ – C₁

3. (y⁴ + 2y)dx + (xy³ + 2y⁴ – 4x)dy = 0

Cek eksak

Bukan Perdif eksak.

∫Q(y) dy = ∫–3/y dy = –3⋅ln|y| = –3⋅ln(y); y > 0

μ(y) = exp[∫Q(y) dy] = exp[–3⋅ln(y)] = y⁻³, kalikan ke persamaan awal diperoleh

y⁻³(y⁴ + 2y)dx + y⁻³(xy³ + 2y⁴ – 4x)dy = 0

(y + 2y⁻²)dx + (x + 2y – 4xy⁻³)dy = 0

Cek eksak

F(x, y) = ∫M(x, y) dx + h(y) = ∫(y + 2y⁻²)dx + h(y) = xy + 2xy⁻² + h(y)

∂F/∂y = x – 4xy⁻³ + h'(y) = N(x, y) = x + 2y – 4xy⁻³

h'(y) = 2y

h(y) = ∫2y dy = y²

F(x, y) = xy + 2xy⁻² + y² = C

xy + 2xy⁻² + y² = C

4. (3x + 2y²)dx + (2xy)dy = 0; x > 0

Cek eksak

Bukan Perdif eksak.

∫P(x) dx = ∫1/x dx = ln(x); x > 0

μ(x) = exp[∫P(x) dx] = exp[ln(x)] = x, kalikan ke persamaan awal, diperoleh

x(3x + 2y²)dx + x(2xy)dy = 0

(3x² + 2xy²)dx + (2x²y)dy = 0

Cek eksak

F(x, y) = ∫M(x, y) dx + h(y) = ∫(3x² + 2xy²)dx + h(y) = x³ + x²y² + h(y)

∂F/∂y = 2x²y + h'(y) = N(x, y) = 2x²y

h'(y) = 0

h(y) = ∫0 dy = C₁

F(x, y) = x³ + x²y² + C₁ = C₂

x³ + x²y² = C₃; dengan C₃ = C₂ – C₁