Metode Variasi Parameter untuk Persamaan Diferensial Linier Non-Homogen dengan Koefisien Konstan

1. Bentuk Umum

Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan pada umumnya berbentuk

A₀y⁽ⁿ⁾ + A₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + Aₙ₋₁y' + Aₙy = F(x); dengan F(x) ≠ 0

dimana A₀, A₁, ..., Aₙ₋₁, Aₙ merupakan konstanta.

Solusi dari Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan berupa jumlahan dari dua bagian solusi, yaitu solusi homogen dan solusi partikuler.

y = yₕ(x) + yₚ(x), keterangan sebagai berikut

y: solusi total

yₕ(x): solusi homogen

yₚ(x): solusi partikuler

Solusi homogen diperoleh dengan menyelesaikan Perdif homogen A₀y⁽ⁿ⁾ + A₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + Aₙ₋₁y' + Aₙy = 0. Sedangkan solusi partikuler akan dibahas pada poin selanjutnya.

2. Solusi Partikuler

Terkadang adakalanya metode koefisien tak tentu tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier non-homogen dengan koefisien konstan. Akan tetapi Sixtyfourians tidak perlu khawatir, karena kali ini Minfor akan membahas metode variasi parameter yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.

A. Bentuk umum untuk Perdif linier non-homogen dengan koefisien konstan orde-n

Misal y₁, y₂, ..., yₙ merupakan basis untuk ruang solusi dari persamaan

A₀y⁽ⁿ⁾ + A₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + Aₙ₋₁y' + Aₙy = F(x); dengan F(x) ≠ 0; A₀, A₁, ..., Aₙ₋₁, Aₙ merupakan konstanta

dan fungsi-fungsi u₁, u₂, ..., uₙ memenuhi SPL

u₁'y₁ + u₂'y₂ + ... + uₙ'yₙ = 0

u₁'y₁' + u₂'y₂' + ... + uₙ'yₙ' = 0

u₁'y₁'' + u₂'y₂'' + ... + uₙ'yₙ'' = 0

⋮

u₁'y₁⁽ⁿ⁻²⁾ + u₂'y₂⁽ⁿ⁻²⁾ + ... + uₙ'yₙ⁽ⁿ⁻²⁾ = 0

u₁'y₁⁽ⁿ⁻¹⁾ + u₂'y₂⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + uₙ'yₙ⁽ⁿ⁻¹⁾ = F(x)

dalam bentuk matriks:

Solusi partikuler untuk persamaan diatas adalah

yₚ(x) = u₁y₁ + u₂y₂ + ... + uₙyₙ

Perhatikan bahwa masing-masing persamaan pada SPL dalam bentuk u₁', u₂', ..., uₙ', sehingga diperlukan integrasi untuk memperoleh u₁, u₂, ..., uₙ.

B. Bentuk khusus untuk Perdif linier non-homogen dengan koefisien konstan orde-2

Untuk orde-2 SPL yang terbentuk adalah

u'y₁ + v'y₂ = 0

u'y₁' + v'y₂' = F(x)

dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh solusi dari SPL yang terbentuk sebagai berikut:

solusi yang diperoleh masih dalam u' dan v', untuk memperoleh u dan v diperlukan integrasi.

solusi partikuler yₚ(x) = uy₁ + vy₂

Contoh Soal

1. y'' + 4y = 3.csc(x)

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² + 4 = 0

r² = –4

r = ±2i, akar-akarnya merupakan kompleks konjugat, dengan α = 0 dan β = 2

yₕ(x) = c₁cos(2x) + c₂sin(2x)

Perhatikan

y₁ = cos(2x); y₂ = sin(2x); F(x) = 3.csc(x)

y₁' = –2.sin(2x); y₂' = 2.cos(2x)

selanjutnya tentukan u

dan v

yₚ(x) = uy₁ + vy₂ = –3.sin(x).cos(2x) + [(3/2).ln|csc(x) – cot(x)| + 3.cos(x)].sin(2x)

= –3.cos(2x).sin(x) + (3/2).sin(2x).ln|csc(x) – cot(x)| + 3.sin(2x).cos(x)

= sin(x) + (3/2).sin(2x).ln|csc(x) – cot(x)|

y = yₕ(x) + yₚ(x) = c₁cos(2x) + c₂sin(2x) + sin(x) + (3/2).sin(2x).ln|csc(x) – cot(x)|

2. y'' – 2y' – 3y = eˣ

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² – 2r – 3 = 0

(r + 1)(r – 3) = 0

r = –1 ∨ r = 3

yₕ(x) = c₁e⁻ˣ + c₂e³ˣ

Perhatikan

y₁ = e⁻ˣ; y₂ = e³ˣ; F(x) = eˣ

y₁' = –e⁻ˣ; y₂' = 3e³ˣ

selanjutnya tentukan u

dan v

yₚ(x) = uy₁ + vy₂ = –¼e²ˣe⁻ˣ – ¼e⁻²ˣe³ˣ = –½eˣ

y = yₕ(x) + yₚ(x) = c₁e⁻ˣ + c₂e³ˣ – ½eˣ

3. y'' + 4y' + 5y = e⁻²ˣ.sec(x)

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² + 4r + 5 = 0

r² + 4r + 4 = –1

(r + 2)² = –1

r + 2 = ±i

r = –2 ± i, akar-akarnya merupakan kompleks konjugat, dengan α = –2 dan β = 1

yₕ(x) = e⁻²ˣ[c₁cos(x) + c₂sin(x)] = c₁e⁻²ˣ.cos(x) + c₂e⁻²ˣ.sin(x)

Perhatikan

y₁ = e⁻²ˣ.cos(x); y₂ = e⁻²ˣ.sin(x); F(x) = e⁻²ˣ.sec(x)

y₁' = –2e⁻²ˣ.cos(x) – e⁻²ˣ.sin(x); y₂' = –2e⁻²ˣ.sin(x) + e⁻²ˣ.cos(x)

uraikan, dan diperoleh W = e⁻⁴ˣ

selanjutnya tentukan u

dan v

yₚ(x) = uy₁ + vy₂ = e⁻²ˣ.cos(x).ln|cos(x)| + x.e⁻²ˣ.sin(x)

y = yₕ(x) + yₚ(x) = c₁e⁻²ˣ.cos(x) + c₂e⁻²ˣ.sin(x) + e⁻²ˣ.cos(x).ln|cos(x)| + x.e⁻²ˣ.sin(x)

= e⁻²ˣ[(c₁ + ln|cos(x)).cos(x) + (c₂ + x).sin(x)]

4. y'' – 2y' + 5y = eˣ.tan(2x)

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² – 2r + 5 = 0

r² – 2r + 1 = –4

(r – 1)² = –4

r – 1 = ±2i

r = 1 ± 2i, akar-akarnya merupakan kompleks konjugat, dengan α = 1 dan β = 2

yₕ(x) = eˣ[c₁cos(2x) + c₂sin(2x)] = c₁eˣ.cos(2x) + c₂eˣ.sin(2x)

Perhatikan

y₁ = eˣ.cos(2x); y₂ = eˣ.sin(2x); F(x) = eˣ.tan(2x)

y₁' = eˣ.cos(2x) – 2eˣ.sin(2x); y₂' = eˣ.sin(2x) + 2eˣ.cos(2x)

uraikan dan diperoleh W = 2e²ˣ
selanjutnya tentukan u

Misal t = sin(2x) → dt = 2.cos(2x) dx

dan v

dan diperoleh yₚ(x) sebagai berikut:

pada akhirnya diperoleh:

5. y'' + 6y' + 9y = e⁻³ˣ/x³

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² + 6r + 9 = 0

(r + 3)² = 0

r = –3

yₕ(x) = c₁e⁻³ˣ + c₂xe⁻³ˣ

Perhatikan

y₁ = e⁻³ˣ; y₂ = xe⁻³ˣ; F(x) = e⁻³ˣ/x³

y₁' = –3e⁻³ˣ; y₂' = e⁻³ˣ – 3xe⁻³ˣ

selanjutnya tentukan u

dan v

dan diperoleh yₚ(x) sebagai berikut:

pada akhirnya diperoleh:

6. y'' – 2y' + y = x.eˣ.ln(x); x > 0

Perdif ini merupakan Perdif linier non-homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya merupakan jumlahan dari solusi homogen dan solusi partikuler.

Solusi homogen dapat dicari menggunakan polinomial karakteristik, yaitu

r² – 2r + 1 = 0

(r – 1)² = 0

r = 1

yₕ(x) = c₁eˣ + c₂xeˣ

Perhatikan

y₁ = eˣ; y₂ = xeˣ; F(x) = x.eˣ.ln(x)

y₁' = eˣ; y₂' = eˣ + xeˣ

selanjutnya tentukan u

Misal t = ln(x) ↔ x = eᵗ → dx = eᵗ dt

dan v

Misal t = ln(x) ↔ x = eᵗ → dx = eᵗ dt

dan diperoleh yₚ(x) sebagai berikut:

pada akhirnya diperoleh: