Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2 dengan Koefisien Konstan

1. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Lanjut

Bentuk umum Perdif linier tingkat n adalah:

dengan a₀(x) ≠ 0.

Dalam notasi lain:

a₀(x).y⁽ⁿ⁾ + a₁(x).y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + aₙ₋₁(x).y' + aₙ(x).y = F(x)

• Untuk kasus dimana F(x) = 0, Perdif ini disebut Perdif linier homogen tingkat n. Sebaliknya jika F(x) ≠ 0 maka Perdif ini disebut Perdif linier non-homogen tingkat n.

• a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x), dan F(x) masing-masing merupakan fungsi dari x yang tidak bergantung pada y. Jika a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x) semuanya merupakan konstanta, maka persamaannya disebut sebagai "Perdif linier tingkat n berkoefisien konstan". Sebaliknya, jika diantara a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x) ada yang bukan konstanta, maka persamaannya disebut sebagai "Perdif linier tingkat n berkoefisien non-konstan".

2. Kombinasi Linier dan Kebebasan Linier Fungsi

A. Kombinasi Linier Fungsi

Diberikan fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., fₘ dan konstanta c₁, c₂, ..., cₘ. Bentuk

c₁f₁ + c₂f₂ + ... + cₘfₘ

disebut sebagai kombinasi linier dari f₁, f₂, ..., fₘ.

B. Kebebasan Linier Fungsi

Fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., fₘ dikatakan bebas linier pada interval [a, b] jika

c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + cₘfₘ(x) = 0

hanya dipenuhi oleh c₁ = c₂ = ... = cₘ = 0 untuk setiap x ∈ [a, b].

Sebaliknya, jika ada diantara c₁, c₂, ..., cₘ yang taknol, sehingga memenuhi

c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + cₘfₘ(x) = 0

untuk suatu x ∈ [a, b] maka dikatakan f₁, f₂, ..., fₘ tidak bebas linier pada interval [a, b].

3. Definisi Wronskian dan Teorema Wronski

A. Definisi Wronskian

Jika f₁ = f₁(x), f₂ = f₂(x), ..., f_n = f_n(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan n – 1 kali pada interval [a, b], maka determinan dari

disebut determinan Wronskian dari f₁, f₂, ..., f_n, dinotasikan W(f₁, f₂, ..., f_n) Determinan ini dapat digunakan untuk memastikan apakah fungsi-fungsi yang diberikan bebas linier.

B. Teorema Wronski

Teorema: "Diberikan fungsi f₁, f₂, ..., f_n mempunyai n – 1 turunan yang kontinu pada interval [a, b]. Jika Wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak sama dengan nol pada [a, b], maka fungsi-fungsi ini bebas secara linier pada interval [a, b]."

Catatan: Teorema ini tidak berlaku kebalikan. Jika Wronskian dari f₁, f₂, ..., f_n adalah nol, maka tidak dapat dipastikan kebebasan linier dari {f₁, f₂, ..., f_n}; fungsi-fungsi ini bisa jadi bebas linier bisa jadi tidak bebas linier.

4. Kombinasi Linier Solusi Persamaan Diferensial Linier Homogen dan Solusi Umum

A. Teorema kombinasi linier solusi Perdif linier homogen

Jika fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., fₘ merupakan m buah solusi dari suatu Perdif linier homogen, maka kombinasi linier

c₁f₁ + c₂f₂ + ... + cₘfₘ

juga merupakan solusi.

B. Teorema Basis untuk Ruang Solusi

Persamaan diferensial linier homogen tingkat n selalu memiliki n buah solusi yang bebas linier. Selanjutnya jika f₁, f₂, ..., fₙ adalah n buah solusi persamaan diferensial yang bebas linier, maka setiap solusi persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

c₁f₁ + c₂f₂ + ... + cₙfₙ dengan pemilihan konstanta c₁, c₂, ..., cₙ yang sesuai.

Dengan kata lain, fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., fₙ merupakan basis untuk ruang solusi.

C. Definisi Solusi Umum

Jika f₁, f₂, ..., fₙ adalah n buah solusi persamaan diferensial linier homogen tingkat n yang bebas linier pada interval [a, b] maka fungsi f yang didefinisikan sebagai

f(x) = c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + cₙfₙ(x)

dengan c₁, c₂, ..., cₙ sebarang konstanta, disebut sebagai solusi umum.

5. Solusi dari Persamaan Diferensial Linier Homogen dengan Koefisien Konstan

Perdif linier homogen berkoefisien konstan pada umumnya berbentuk

A₀y⁽ⁿ⁾ + A₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + Aₙ₋₁y' + Aₙy = 0

dimana A₀, A₁, ..., Aₙ₋₁, Aₙ merupakan konstanta.

Solusi untuk Perdif linier homogen berkoefisien konstan biasanya berbentuk eʳˣ.

Perhatikan, misal y = eʳˣ, turunannya adalah

y' = r.eʳˣ

y'' = r².eʳˣ

...

y⁽ⁿ⁾ = rⁿ.eʳˣ

sehingga persamaannya bisa diubah menjadi

A₀rⁿ.eʳˣ + A₁rⁿ⁻¹.eʳˣ + ... + Aₙ₋₁r.eʳˣ + Aₙeʳˣ = 0, bagi dengan eʳˣ

A₀rⁿ + A₁rⁿ⁻¹ + ... + Aₙ₋₁r + Aₙ = 0

bentuk terakhir merupakan persamaan polinomial dalam r yang disebut sebagai persamaan karakteristik.

Ini berarti kita dapat mencari solusi-solusinya dengan mencari nilai r.

A. Kasus dimana semua akarnya real berbeda

Untuk kasus dimana semua akarnya real berbeda, solusi umumnya adalah kombinasi linier dari eʳˣ untuk setiap nilai r.

contoh:

y⁽³⁾ – 6y'' + 5y' + 12y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r³ – 6r² + 5r + 12 = 0

(r + 1)(r – 3)(r – 4) = 0

r = –1 ∨ r = 3 ∨ r = 4

sehingga solusinya adalah y = e⁻ˣ ∨ y = e³ˣ ∨ y = e⁴ˣ

akar-akar dari persamaan karakteristik real dan berbeda, sehingga solusi umumnya adalah kombinasi liniernya yaitu y = c₁e⁻ˣ + c₂e³ˣ + c₃e⁴ˣ

B. Kasus dimana adanya akar real yang sama

Untuk kasus dimana adanya akar real yang sama, solusi untuk akar yang sama adalah eʳˣ dikalikan polinom berderajat banyak akar sama dikurangi satu.

contoh:

y⁽³⁾ – 4y'' – 3y' + 18y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r³ – 4r² – 3r + 18 = 0

(r + 2)(r – 3)² = 0

r = –2 ∨ r = 3 (berulang 2 kali)

sehingga solusinya adalah y = e⁻²ˣ ∨ y = e³ˣ

diantara akar-akarnya ada akar real yang sama, sehingga solusi umumnya adalah

y = c₁e⁻²ˣ + (c₂x + c₃)e³ˣ

pada kasus ini r = –2 tidak berulang sehingga solusinya hanya dikalikan konstanta, adapun r = 3 berulang 2 kali sehingga solusinya dikalikan polinom berderajat 2 – 1 = 1.

C. Kasus dimana adanya akar kompleks

Sebelum membahas solusinya, perlu diketahui bahwa polinomial yang semua koefisiennya bilangan real, memiliki akar kompleks sebanyak genap, karena bilangan kompleks yang merupakan akar dari suatu polinomial, konjugatnya juga merupakan akar.

Misal a + bi merupakan akar dari P(x), maka a – bi juga merupakan akar dari P(x).

Untuk kasus dimana Perdif linier homogen berkoefisien konstan dengan polinomial karakteristiknya ada diantara akar-akarnya yang berupa bilangan kompleks, misal α ± βi merupakan akar polinomial karakteristik Perdif linier homogen berkoefisien konstan, solusinya

e^αx.[c₁.cos(βx) + c₂.sin(βx)]

contoh:

y⁽³⁾ – 9y'' + 33y' – 65y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r³ – 9r² + 33r – 65 = 0

(r – 5)(r² – 4r + 13) = 0

r = 5 ∨ r = 2 ± 3i

pada kasus ini solusi untuk r = 5 adalah y = e⁵ˣ, sedangkan untuk r = 2 ± 3i (pada bentuk ini α = 2 dan β = 3) yang merupakan kompleks konjugat adalah y = e²ˣ.[c₂.cos(3x) + c₃.sin(3x)], sehingga solusi umumnya adalah

y = c₁e⁵ˣ + e²ˣ.[c₂.cos(3x) + c₃.sin(3x)]

Contoh Soal

1. Tentukan solusi dari MNA

y'' + 5y' + 6y = 0; y(0) = 2; y'(0) = 3

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r² + 5r + 6 = 0

(r + 3)(r + 2) = 0

r = –3 ∨ r = –2

solusi umumnya adalah y = c₁e⁻³ˣ + c₂e⁻²ˣ, masukkan y(0) = 2; y'(0) = 3

y(0) = c₁e⁰ + c₂e⁰ = 2 → c₁ + c₂ = 2 ...(i)

y'(0) = –3c₁e⁰ – 2c₂e⁰ = 3 → –3c₁ – 2c₂ = 3 ...(ii)

3(i) + (ii) → c₂ = 9, masukkan ke (i)

c₁ + 9 = 2 ↔ c₁ = –7

Jadi, solusi dari MNA ini adalah y = –7e⁻³ˣ + 9e⁻²ˣ

2. y'' – 12y' + 36y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r² – 12r + 36 = 0

(r – 6)² = 0

r = 6 (berulang 2 kali)

solusi umumnya adalah y = (c₁x + c₂)e⁶ˣ

3. y'' + 2y' – 3y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r² + 2r – 3 = 0

(r + 3)(r – 1) = 0

r = –3 ∨ r = 1

solusi umumnya adalah y = c₁e⁻³ˣ + c₂eˣ

4. 2y'' + 4y' + 3y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

2r² + 4r + 3 = 0

akar-akarnya merupakan kompleks konjugat, dengan α = –1 dan β = ½√2
solusi umumnya adalah y = e⁻³ˣ.[c₁.cos(½x√2) + c₂.sin(½x√2)]

5. y'' – 9y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r² – 9 = 0

(r + 3)(r – 3) = 0

r = –3 ∨ r = 3

solusi umumnya adalah y = c₁e⁻³ˣ + c₂e³ˣ

6. y'' + 16y = 0

Perdif ini merupakan Perdif linier homogen berkoefisien konstan, sehingga solusinya dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik, yaitu

r² + 16 = 0

r = ±4i

akar-akarnya merupakan kompleks konjugat, dengan α = 0 dan β = 4
solusi umumnya adalah y = e⁰.[c₁.cos(4x) + c₂.sin(4x)] = c₁.cos(4x) + c₂.sin(4x)