Deret Taylor dan MacLaurin (Kaldif)

1. Deret Taylor dan MacLaurin

Perhatikan deret berikut:

dengan interval konvergensi (c – R, c + R), untuk suatu 0 < R < ∞. Misalkan untuk sebarang x ∈ (c – R, c + R), fungsi f dapat dinyatakan sebagai:

maka:

f'(x) = a₁ + 2a₂(x – c) + 3a₃(x – c)² + ...

f''(x) = 2a₂ + 6a₃(x – c) + 12a₄(x – c)² + ...

f'''(x) = 6a₃ + 24a₄(x – c) + ...

⋮

f⁽ⁿ⁾(x) = n!aₙ + (n + 1)!aₙ₊₁(x – c) + ...

Apabila diambil x = c, diperoleh:

f'(c) = a₁;    a₁ = f'(c)

f''(c) = 2a₂;    a₂ = f''(c)/2!

f'''(c) = 6a₃;    a₃ = f'''(c)/3!

⋮

f⁽ⁿ⁾(c) = n!aₙ;    aₙ = f⁽ⁿ⁾(c)/n!

Sehingga:

Selanjutnya, diperoleh pernyataan sebagai berikut:

Jika fungsi f dapat dinyatakan dalam deret pangkat

dengan jari-jari konvergensi R maka:

untuk setiap x ∈ (c – R, c + R).

Persamaan terakhir disebut Deret Taylor fungsi f di sekitar x = c. Di atas telah ditunjukkan bahwa apabila fungsi f dapat direpresentasikan dalam

maka deret tersebut haruslah sama dengan deret Taylor. Dengan demikian satu-satunya bentuk deret pangkat fungsi f dalam (x – c) adalah deret Taylor di sekitar x = c.

Jika c = 0, maka deret Taylor menjadi:

Deret ini disebut Deret MacLaurin fungsi f.

Contoh:

Tentukan deret Taylor fungsi f(x) = ln(x) di sekitar x = 1.

f(x) = ln(x);    f(1) = 0

f'(x) = 1/x = x⁻¹;    f'(1) = 1

f''(x) = –x⁻²;    f''(1) = –1

f'''(x) = 2x⁻³;    f'''(1) = 2

⋮

f⁽ⁿ⁾(x) = (–1)ⁿ⁻¹·(n – 1)!·x⁻ⁿ;    f⁽ⁿ⁾(1) = (–1)ⁿ⁻¹·(n – 1)!

Jadi, deret Taylor fungsi f(x) = ln(x) di sekitar x = 1 adalah

2. Fungsi Analitik di Suatu Titik

A. Definisi

Fungsi f dikatakan analitik di x₀ jika f dapat disajikan dalam deret Taylor di suatu persekitaran x₀.

B. Hubungan Fungsi Analitik dengan Deret Taylor

Diketahui fungsi f mempunyai turunan untuk semua tingkat yang kontinu pada suatu persekitaran x₀. Fungsi f analitik di x₀ jika dan hanya jika

untuk setiap x pada persekitaran x₀ dengan cₙ di antara x₀ dan x.

Bukti:

Jika f analitik di x₀ maka f dapat diperderetkan secara Taylor di sekitar x₀, sehingga

Sebaliknya, menurut hipotesis dan Teorema Taylor, maka untuk setiap n ∈ N:

f(x) = Pₙ(x) + Rₙ₊₁(x)

Akibatnya, untuk setiap x di dalam persekitaran x₀:

3. Beberapa Contoh Deret MacLaurin

A. Fungsi Eksponen

Berikut ini ekspansi deret MacLaurin untuk f(x) = eˣ:

f(x) = eˣ;    f(0) = 1

f'(x) = eˣ;    f'(0) = 1

f''(x) = eˣ;    f''(0) = 1

f'''(x) = eˣ;    f'''(0) = 1

⋮

f⁽ⁿ⁾(x) = eˣ;    f⁽ⁿ⁾(0) = 1

sehingga

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ..., dalam notasi sigma

dengan mengganti x dengan –x, diperoleh deret MacLaurin untuk e⁻ˣ adalah

e⁻ˣ = 1 + (–x) + (–x)²/2! + (–x)³/3! + ..., dalam notasi sigma

B. Fungsi Hiperbolik

Ingat kembali deret MacLaurin untuk eˣ dan e⁻ˣ:

Tentukan jumlah dan selisihnya:

Sehingga diperoleh deret MacLaurin untuk fungsi cosh(x) dan sinh(x):

C. Fungsi Sinus dan Kosinus

f(x) = sin(x);    f(0) = 0

f'(x) = cos(x);    f'(0) = 1

f''(x) = –sin(x);    f''(0) = 0

f'''(x) = –cos(x);    f'''(0) = –1

f⁽⁴⁾(x) = sin(x);    f⁽⁴⁾(0) = 0

Perhatikan bahwa setiap 4 kali penurunan akan kembali ke siklus awal, sehingga diperoleh siklus koefisien untuk sin(x) adalah

0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, dst

begitu juga untuk cos(x), siklus koefisiennya adalah

1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, dst

Diperoleh deret MacLaurin untuk sin(x) dan cos(x) sebagai berikut:

D. Rumus Euler untuk Bilangan Kompleks
Ingat kembali deret MacLaurin untuk eˣ, dengan mengganti x dengan iθ, akan diperoleh:

Jadi, e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ).

4. Penggunaan Deret Taylor dan MacLaurin untuk Menghitung Limit

Selain dapat digunakan untuk menentukan suatu nilai pendekatan, deret Taylor dan MacLaurin dapat pula digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit.

Contoh: