Fungsi Polinomial Taylor (Kaldif)

1. Pengenalan Fungsi Polinomial Taylor

Dari semua fungsi yang telah dipelajari, fungsi suku banyak (polinomial):

Pₙ(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + aₙ-₁x + aₙ

merupakan fungsi yang paling sederhana, dalam arti operasi-operasi yang diperlukan hanyalah penjumlahan dan perkalian. Hal ini tidak akan terjadi pada fungsi eksponensial, fungsi sinus ataupun fungsi-fungsi lain. Karena sifat sederhana fungsi suku banyak tersebut, maka akan dipelajari bagaimana mengadakan pendekatan berbagai fungsi dengan suatu fungsi suku banyak jenis tertentu yang biasa dikenal dengan nama fungsi suku banyak Taylor (Taylor polynomials).

Ingat kembali bahwa apabila ƒ diferensiabel di c maka ƒ dapat didekati dengan fungsi polinomial berderajat 1:

P₁(x) = ƒ(c) + ƒ'(c)(x – c), asalkan x cukup dekat dengan c. Jadi:

ƒ(x) ≈ ƒ(c) + ƒ'(c)(x – c)

Grafik fungsi suku banyak P₁(x) merupakan garis singgung fungsi ƒ di x = c.

Pendekatan yang lebih baik untuk ƒ adalah fungsi polinomial berderajat 2 yang grafiknya tidak hanya mempunyai garis singgung yang sama di x = c, tetapi nilai turunan kedua di x = c sama dengan ƒ(c).

Fungsi polinomial tersebut adalah:

sebab:

i. P₂(c) = ƒ(c)

P₂(x) dan ƒ mempunyai nilai sama di c.

ii. P₂'(x) = ƒ'(c) + ƒ''(c)(x – c)

P₂'(c) = ƒ'(c)

Garis singgung P₂(x) dan ƒ di c mempunyai gradient sama.

iii. P₂''(x) = ƒ''(c)

P₂''(c) = ƒ''(c)

Turunan kedua P₂(x) dan ƒ di c sama.

Fungsi polinomial berderajat 3 dengan nilai turunan pertama, kedua, dan ketiga di x = c sama dengan ƒ memberikan pendekatan yang lebih baik untuk ƒ dibanding pendekatan-pendekatan sebelumnya. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi polinomial dimaksud adalah:

Sebab:

i. P₃(c) = ƒ(c)

ii. P₃'(x) = ƒ'(c) + ƒ''(c)(x – c) + [ƒ'''(c)/2](x – c)²

P₃'(c) = ƒ'(c)

iii. P₃''(x) = ƒ''(c) + ƒ'''(c)(x – c)

P₃''(c) = ƒ''(c)

iv. P₃'''(x) = ƒ'''(c)

P₃'''(c) = ƒ'''(c)

Akhirnya, dengan alasan yang sama fungsi ƒ dapat didekati oleh fungsi polinomial berderajat n:

Fungsi suku banyak Pₙ(x) di atas dinamakan fungsi suku banyak Taylor (Taylor Polynomial) berderajat n untuk fungsi ƒ di c.

Contoh: Tentukan fungsi polinomial Taylor berderajat 5 untuk f(x) = x·cos(x) di titik x = 0

f'(x) = cos(x) – x·sin(x);    f'(0) = 1 – 0 = 1

f''(x) = –sin(x) – sin(x) – x·cos(x) = –2·sin(x) – x·cos(x);    f''(0) = 0

f'''(x) = –2·cos(x) – cos(x) + x·sin(x) = –3·cos(x) + x·sin(x);    f'''(0) = –3

f⁽⁴⁾(x) = 3·sin(x) + sin(x) + x·cos(x) = 4·sin(x) + x·cos(x);    f⁽⁴⁾(0) = 0

f⁽⁵⁾(x) = 4·cos(x) + cos(x) – x·sin(x) = 5·cos(x) – x·sin(x);    f⁽⁵⁾(0) = 5

Jadi, fungsi polinomial Taylor berderajat 5 untuk f(x) = x·cos(x) di titik x = 0 adalah

2. Ketepatan Fungsi Polinomial Taylor

Jika fungsi ƒ mempunyai turunan sampai order (n + 1) dalam satu interval I yang memuat a, maka untuk setiap x ∈ I terdapat ξ di antara x dan a sehingga berlaku:

dengan:

Rumus f(x) disebut rumus Taylor dengan sisa, sedang rumus Rₙ₊₁ disebut suku sisa Lagrange.

Bukti:

Dibentuk fungsi F sebagai berikut:

Daerah definisi fungsi F adalah c ≤ t ≤ x jika x > c dan x ≤ c ≤ t jika x < c. Karena ƒ(t), ƒ'(t),...,ƒ⁽ⁿ⁾(t) masing-masing kontinu, maka F kontinu pula pada domainnya. Selanjutnya, F diferensiabel dan:

untuk setiap t di antara c dan x. Karena F(x) = F(c) = 0 maka menurut Teorema Rolle terdapat u di antara c dan x sehingga F'(u) = 0. Akibatnya:

Jika persamaan di atas diselesaikan untuk Q(x) maka diperoleh:

Q(x) = ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(u)

Dengan mengambil t = c dan Q(x) = ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(u) maka persamaan F(c) adalah:

Selanjutnya, karena F(c) = 0 maka teorema terbukti.

Tambahan:

Karena:

dan:

dengan ξ di antara x dan c

maka rumus Taylor dengan sisa dapat ditulis sebagai:

ƒ(x) = Pₙ(x) + Rₙ₊₁(x)

Fungsi polinomial Pₙ(x) dapat dipandang sebagai fungsi polinomial yang nilainya mendekati nilai ƒ(x) untuk x cukup dekat dengan c. Sedangkan suku sisa Rₙ₊₁(x) akan memberikan ukuran ketepatan pendekatan tersebut. Apabila nilai Rₙ₊₁(x) cukup kecil, maka:

ƒ(x) ≈ Pₙ(x)

Apabila nilai Rₙ₊₁(x) diketahui, maka nilai ƒ(x) pun akan diketahui pula secara pasti. Akan tetapi sangat sulit untuk mengetahui secara pasti berapa nilai Rₙ₊₁(x), karena sesungguhnya nilai Rₙ₊₁(x) tersebut tergantung pada nilai ξ dan nilai ξ inipun sulit untuk diketahui.

Contoh:

Tentukan nilai pendekatan dari √(1,2) dengan menggunakan fungsi polinomial Taylor berderajat 3 untuk fungsi ƒ(x) = √x di titik x = 1. Tentukan pula perkiraan batas kesalahan dari pendekatan tersebut.

f(x) = √x = x^1/2;    f(1) = 1

f'(x) = ½x^–1/2;    f'(1) = ½

f''(x) = –¼x^–3/2;    f''(1) = –¼

f'''(x) = ⅜x^–5/2;    f'''(1) = ⅜

f⁽⁴⁾(x) = (–15/16)x^–7/2;

berikut ini P₃(1,2) yang merupakan pendekatan untuk f(1,2):

Batas kesalahan dari pendekatan ini adalah:

dengan 1 < ξ < 1,2. Pada interval ini, nilai R₄ maksimum di ξ = 1

Jadi, kesalahan pendekatan ini tidak lebih dari 0,0000625.