Gerak Bebas / Free Motion (Aplikasi Perdif)

1. Gerak Bebas Tak Teredam (Free Undamped Motion)

Sekarang kita pertimbangkan kasus khusus dari gerak bebas, tanpa redaman (free, undamped motion), yaitu kasus di mana baik a = 0 maupun F(t) = 0 untuk semua t. Persamaan diferensial

kemudian direduksi menjadi:

di mana m(>0) adalah massa dan k(>0) adalah konstanta pegas. Membagi dengan m dan menetapkan k/m = λ², kita tulis persamaan tersebut dalam bentuk:

Persamaan bantu (auxiliary equation)

r² + λ² = 0

memiliki akar r = ±λi dan oleh karena itu solusi umumnya dapat ditulis:

x = c₁·sin(λt) + c₂·cos(λt),

di mana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa massa pada awalnya digeser sejauh x₀ dari posisi kesetimbangannya dan dilepaskan dari titik tersebut dengan kecepatan awal v₀. Maka, kita memiliki kondisi awal:

x(0) = x₀

x'(0) = v₀

Mendiferensialkan x = c₁·sin(λt) + c₂·cos(λt) terhadap t, kita dapatkan:

dx/dt = c₁λ·cos(λt) – c₂λ·sin(λt)

Menerapkan kondisi-kondisi awal x(0) = x₀, x'(0) = v₀, kita lihat bahwa:

c₂ = x₀,

c₁λ = v₀.

Mengganti nilai c₁ dan c₂ yang telah ditentukan memberikan solusi khusus dari persamaan diferensial dalam bentuk:

x = (v₀/λ)·sin(λt) + x₀·cos(λt)

Kita letakkan ini dalam bentuk alternatif dengan pertama-tama menulisnya sebagai:

di mana:

Kemudian, dengan menetapkan v₀/(λc) = –sin φ dan x₀/c = cos φ, kita peroleh

x = c·cos(λt + φ),

di mana c dan φ ditentukan diatas. Karena λ = √(k/m), sekarang kita tulis solusi terakhir dalam bentuk:

Ini, dengan demikian, memberikan perpindahan x dari massa dari posisi kesetimbangan O sebagai fungsi dari waktu t (t > 0). Kita lihat bahwa gerak bebas, tanpa redaman (free, undamped motion) dari massa adalah gerakan harmonik sederhana (simple harmonic motion). Konstanta c disebut amplitudo dari gerakan dan memberikan perpindahan maksimum (positif) dari massa dari posisi kesetimbangannya. Gerakan tersebut adalah gerakan periodik, dan massa berosilasi maju mundur antara x = c dan x = –c. Kita memiliki x = c jika dan hanya jika:

dimana n = 0, 1, 2, 3, ...; t > 0

Dengan demikian, perpindahan maksimum (positif) terjadi jika dan hanya jika:

di mana n = 0, 1, 2, 3, ....

Interval waktu antara dua maksimum berturut-turut disebut periode dari gerakan. Kita lihat bahwa itu diberikan oleh:

Kebalikan dari periode, yang memberikan banyak osilasi per detik, disebut frekuensi alami (atau hanya frekuensi) dari gerakan. Angka φ disebut konstanta fase (atau sudut fase). Grafik dari gerakan ini ditunjukkan pada gambar berikut:

2. Gerak Bebas Teredam (Free Damped Motion)

Sekarang kita pertimbangkan efek dari hambatan medium pada massa di pegas. Masih mengasumsikan tidak ada gaya eksternal yang ada, ini adalah kasus dari gerak bebas, teredam (free, damped motion). Maka, dengan koefisien redaman a > 0 dan F(t) = 0 untuk semua t, persamaan diferensial dasar direduksi menjadi:

Membagi dengan m dan menetapkan k/m = λ² dan a/m = 2b (untuk memudahkan), kita dapatkan persamaan diferensial dalam bentuk:

Perhatikan bahwa karena a positif, b juga positif. Persamaan bantu (auxiliary equation) adalah:

r² + 2br + λ² = 0

Menggunakan rumus kuadratik, kita temukan bahwa akar-akar dari adalah:

[–2b ± √(4b² – 4λ²)]/2 = –b ± √(b² – λ²)

Tiga kasus berbeda terjadi, tergantung pada sifat dari akar-akar ini, yang pada gilirannya tergantung pada tanda dari b² – λ².

• Gerak teredam berosilasi (damped oscillatory motion), b² – λ² < 0.

• Redaman kritis (critical damping), b² – λ² = 0

• Redaman berlebih (overdamping), b² – λ² > 0

A. Gerak Teredam Berosilasi (Damped Oscillatory Motion)

Di sini kita mempertimbangkan kasus di mana b < λ, yang menyiratkan bahwa b² – λ² < 0. Maka akar-akar persamaan karakteristiknya adalah bilangan kompleks konjugat -b ± i√λ² - b² 

dan solusi umum dari persamaannya adalah:

di mana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang. Kita dapat menulis ini dalam bentuk alternatif:

di mana c = √(c₁² + c₂²) > 0 dan φ ditentukan oleh persamaan:

c₁/c = –sin(φ),

c₂/c = cos(φ).

Ruas kanan terdiri dari 2 faktor, yaitu

Faktor e⁻ᵇᵗ disebut faktor peredam (damping factor), atau amplitudo yang bervariasi seiring waktu. Karena c > 0, ia positif; dan karena b > 0, ia cenderung ke nol secara monoton seiring t → ∞. Dengan kata lain, seiring berjalannya waktu, faktor positif ini menjadi semakin kecil dan akhirnya menjadi dapat diabaikan. Faktor yang tersisa,

tentu saja, adalah karakteristik periodik, memang ia merepresentasikan gerak harmonik sederhana. Hasil kali dari kedua faktor ini, yang justru merupakan sisi kanan persamaan x, oleh karena itu merepresentasikan gerak berosilasi di mana osilasi menjadi semakin kecil. Osilasi ini dikatakan "teredam," dan gerakannya digambarkan sebagai gerak teredam berosilasi. Tentu saja, gerakan tersebut tidak lagi periodik, tetapi interval waktu antara dua perpindahan maksimum (positif) berturut-turut masih disebut sebagai periode. Ini diberikan oleh:

Grafik dari gerakan semacam itu ditunjukkan pada berikut:

di mana faktor peredam e⁻ᵇᵗ dan negatifnya ditunjukkan oleh garis putus-putus.

Rasio amplitudo pada setiap waktu T dengan amplitudo pada waktu

satu periode sebelumnya, adalah konstanta:

Dengan demikian, kuantitas

adalah penurunan logaritma amplitudo ce⁻ᵇᵗ selama interval waktu satu periode. Ini disebut logarithmic decrement (penurunan logaritmik).

Jika kita sekarang kembali ke notasi asli dari persamaan diferensial, kita lihat dari Persamaan x bahwa dalam hal konstanta asli m, a, dan k, solusi umum adalah:

Karena b < λ setara dengan

a/(2m) < √(k/m)

kita dapat mengatakan bahwa solusi umumnya diberikan oleh bentuk terakhir dan bahwa gerak teredam, berosilasi terjadi ketika a < 2√km. Frekuensi dari osilasi:

adalah:

Jika tidak ada redaman, a akan sama dengan nol dan frekuensi alami dari sistem tanpa redaman akan menjadi (1/2π)·[√(k/m)]. Dengan demikian, frekuensi osilasi dalam gerak teredam berosilasi lebih kecil daripada frekuensi alami dari sistem tanpa redaman yang bersangkutan.

B. Redaman Kritis (Critical Damping)

Ini adalah kasus di mana b = λ, yang menyiratkan bahwa b² – λ² = 0. Kedua akar karakteristik sama dengan bilangan riil negatif –b, dan solusi umumnya adalah:

x = (c₁ + c₂t)e⁻ᵇᵗ.

Gerakan tersebut tidak lagi berosilasi; redaman cukup besar untuk mencegah osilasi. Sedikit penurunan dalam jumlah redaman, bagaimanapun, akan mengubah situasi kembali ke Kasus 1 dan gerak teredam berosilasi akan terjadi. Kasus 2 kemudian merupakan kasus perbatasan; gerakannya dikatakan teredam secara kritis (critically damped).

Kita lihat bahwa semakin besar t, nilai x akan semakin mengecil menuju 0.

Oleh karena itu, massa cenderung ke posisi kesetimbangannya saat t → ∞. Bergantung pada kondisi awal yang ada, kemungkinan-kemungkinan berikut dapat terjadi dalam gerakan ini:

1. Massa tidak melewati posisi kesetimbangannya maupun mencapai perpindahan ekstrim (maksimum atau minimum) dari kesetimbangan untuk t > 0. Itu hanya mendekati posisi kesetimbangannya secara monoton saat t → ∞.

2. Massa tidak melewati posisi kesetimbangannya tetapi perpindahannya dari kesetimbangan mencapai satu titik ekstrim tunggal pada t = T₁ > 0. Setelah perpindahan ekstrim ini terjadi, massa cenderung ke posisi kesetimbangannya secara monoton saat t → ∞.

3. Massa melewati posisi kesetimbangannya sekali pada t = T₂ > 0 dan kemudian mencapai perpindahan ekstrim pada t = T₃ > T₂, setelah itu ia cenderung ke posisi kesetimbangannya secara monoton saat t → ∞.

C. Redaman Berlebih (Overcritical Damping).

Akhirnya, di sini kita mempertimbangkan kasus di mana b > λ, yang menyiratkan bahwa b² – λ² > 0. Di sini akar-akarnya adalah bilangan riil negatif yang berbeda:

Solusi umum dalam kasus ini adalah:

x = c₁e^r₁t + c₂e^r₂t 

Redaman sekarang begitu besar sehingga tidak ada osilasi yang dapat terjadi. Selanjutnya, kita tidak bisa lagi mengatakan bahwa setiap penurunan dalam jumlah redaman akan menghasilkan osilasi, seperti yang bisa kita katakan pada Kasus 2. Gerakan di sini dikatakan teredam secara berlebihan (overcritically damped) atau hanya teredam lampau.

Perpindahan x mendekati nol saat t → ∞. Seperti pada Kasus 2, pendekatan menuju nol ini monotonik untuk t yang cukup besar. Memang, tiga gerakan yang mungkin terjadi pada Kasus 2 dan 3 secara kualitatif sama. Dengan demikian, tiga gerakan yang diilustrasikan pada Kasus 2 juga dapat berfungsi untuk mengilustrasikan tiga jenis gerakan yang mungkin terjadi pada Kasus 3.

Contoh Soal

1. Sebuah beban 12-lb diletakkan di ujung bawah pegas koil yang digantung dari langit-langit. Beban tersebut berhenti dalam posisi kesetimbangannya, sehingga meregangkan pegas sejauh 1,5 inci. Beban tersebut kemudian ditarik ke bawah 2 inci di bawah posisi kesetimbangannya dan dilepaskan dari keadaan diam pada t = 0.

Carilah perpindahan beban sebagai fungsi waktu; tentukan amplitudo, periode, dan frekuensi dari gerakan yang dihasilkan; dan buatlah grafik perpindahan sebagai fungsi waktu.

Diberikan beban 12 lb meregangkan pegas sejauh 1,5 in = 0,125 ft; diperoleh informasi F = 12; s = 0,125. Menurut hukum Hooke

F = ks ⇔ 12 = k(0,125) ⇔ k = 12/(0,125) = 96 lb/ft.

Menurut hukum Newton II,

m = F/g = 12/32 = ⅜ slug

diperoleh persamaan

⅜x'' + 96x = 0, kalikan masing-masing ruas dengan 8/3

x'' + 256 = 0

Diberikan tarikan awal sejauh 2 in = ⅙ ft dalam keadaan diam, berarti x(0) = ⅙ dan x'(0) = 0.

Solusi dari perdif yang terbentuk adalah

x = c₁·sin(16t) + c₂·cos(16t), masukkan x(0) = ⅙

c₁·sin(0) + c₂·cos(0) = c₂ = ⅙

turunkan x terhadap t

x' = 16c₁·cos(16t) – 16c₂·sin(16t), masukkan x'(0) = 0

16c₁·cos(0) – 16c₂·sin(0) = 16c₁ = 0 ⇔ c₁ = 0

Diperoleh x = ⅙·cos(16t)

Amplitudo = x(0) = ⅙

Periode = 2π/16 = ⅛π

Frekuensi = 1/periode = 8/π

2. Sebuah beban 8-lb dipasang di ujung pegas koil yang digantung dari balok dan berhenti pada posisi kesetimbangannya. Beban tersebut kemudian ditarik ke bawah sejauh A ft di bawah posisi kesetimbangannya dan dilepaskan pada t = 0 dengan kecepatan awal 3 ft/detik, yang mengarah ke bawah. Tentukan konstanta pegas k dan konstanta A jika amplitudo dari gerakan yang dihasilkan adalah √5 dan periodenya adalah π/2.

• Konstanta pegas k

Diberikan W = 8-lb, dengan asumsi g = 32 ft/s², diperoleh m = W/g = 8/32 = ¼ slug.

Diberikan periode T = π/2 ⇔ 2π[√(m/k)] = π/2, bagi masing-masing ruas dengan 2π

√(m/k) = ¼, kuadratkan masing-masing ruas

m/k = 1/16 ⇔ k = 16m = 16·¼ = 4 lb/ft.

• Konstanta A

Diberikan amplitudo c = √5 ft, v₀ = 3 ft/s, λ = √(k/m) = √16 = 4 rad/s

c = √[x₀² + (v₀/λ)²]

√5 = √[A² + (3/4)²] = √[A² + 9/16], kuadratkan masing-masing ruas

5 = A² + 9/16

A² = 5 – 9/16 = 71/16, akarkan masing-masing ruas

A = ¼(√71)

3. Sebuah beban 8-lb diletakkan di ujung pegas koil yang digantung dari langit-langit. Setelah berhenti di posisi kesetimbangannya, beban tersebut digerakkan secara vertikal dan periode dari gerakan yang dihasilkan adalah 4 detik. Setelah beberapa waktu gerakan ini dihentikan, dan beban 8-lb diganti dengan beban lain. Setelah beban lain ini berhenti di posisi kesetimbangannya, ia digerakkan secara vertikal. Jika periode dari gerakan baru ini adalah 6 detik, berapa berat beban kedua?

Diberikan W₁ = 8 lb, dengan asumsi g = 32 ft/s², diperoleh m₁ = W₁/g = 8/32 = ¼ slug.

Diberikan T₁ = 4 detik, masukkan ke T₁ = 2π√(m₁/k) diperoleh

4 = 2π√(¼/k) = π/(√k) ⇔ 16 = π²/k ⇔ k = π²/16

Diberikan T₂ = 6 detik, masukkan ke T₂ = 2π√(m₂/k) diperoleh

6 = 2π√[m₂/(π²/16)] = 8√m₂ ⇔ 3 = 4√m₂ ⇔ m₂ = 9/16 slug.

W₂ = m₂·g = (9/16)·32 = 18-lb.

4. Sebuah beban 16-lb diletakkan di ujung bawah pegas koil yang digantung dari langit-langit dan berhenti dalam posisi kesetimbangannya, sehingga meregangkan pegas 8 inci. Pada waktu t = 0, beban tersebut kemudian dipukul sehingga bergerak dengan kecepatan awal 2 ft/s, mengarah ke bawah. Medium menawarkan hambatan dalam pound secara numerik sama dengan 6x'(t), di mana x'(t) adalah kecepatan sesaat dalam ft/s. Tentukan perpindahan beban yang dihasilkan sebagai fungsi waktu dan buatlah grafik perpindahan ini.

Diberikan W = 16-lb, asumsikan g = 32 ft/s², diperoleh m = W/g = 16/32 = ½ slug.

Diberikan x = 8 in = ⅔ ft, dan F = W = 16-lb, menurut hukum Hooke

F = kx ⇔ 16 = ⅔k ⇔ k = 24 lb/ft.

Diberikan koefisien redaman oleh hambatan medium sebesar a = 6 lb·s/ft

Berdasarkan informasi awal, diperoleh persamaan diferensial

mx'' + ax' + kx = 0

½x'' + 6x' + 24x = 0, kalikan masing-masing ruas dengan 2

x'' + 12x' + 48x = 0, berikut persamaan karakteristik

r² + 12r + 48 = 0

(r + 6)² = –12

r + 6 = ±2i√3

r = –6 ± 2i√3, sehingga solusi umumnya adalah

x = e⁻⁶ᵗ·[c₁·cos(2t√3) + c₂·sin(2t√3)], turunkan terhadap t

x' = –6e⁻⁶ᵗ·[c₁·cos(2t√3) + c₂·sin(2t√3)] + e⁻⁶ᵗ·[–(2√3)c₁·sin(2t√3) + (2√3)c₂·cos(2t√3)]

Diberikan x(0) = 0 dan x'(0) = 2 ft/s, masukkan

0 = c₁·cos(0) + c₂·sin(0) ⇔ c₁ = 0

2 = –6[c₁·cos(0) + c₂·sin(0)] + [–(2√3)c₁·sin(0) + (2√3)c₂·cos(0)] = –6c₁ + 2c₂√3, masukkan c₁ = 0

2c₂√3 = 2 ⇔ c₂ = 1/(√3)

Jadi, perpindahannya adalah x = [e⁻⁶ᵗ·sin(2t√3)]/(√3); berikut grafiknya

5. Sebuah beban 8-lb dipasang di ujung bawah pegas koil yang digantung dari penyangga tetap. Beban tersebut berhenti pada posisi kesetimbangannya, sehingga meregangkan pegas 6 inci. Beban tersebut kemudian ditarik ke bawah 9 inci di bawah posisi kesetimbangannya dan dilepaskan pada t = 0. Medium menawarkan hambatan dalam pound secara numerik sama dengan 4x'(t), di mana x'(t) adalah kecepatan sesaat dalam ft/s. Tentukan perpindahan beban sebagai fungsi waktu dan buatlah grafik perpindahan ini.

Diberikan W = 8-lb, asumsikan g = 32 ft/s², diperoleh m = W/g = 8/32 = ¼ slug.

Diberikan x = 6 in = ½ ft, dan F = W = 8-lb, menurut hukum Hooke

F = kx ⇔ 8 = ½k ⇔ k = 16 lb/ft.

Diberikan koefisien redaman oleh hambatan medium sebesar a = 4 lb·s/ft

Berdasarkan informasi awal, diperoleh persamaan diferensial

mx'' + ax' + kx = 0

¼x'' + 4x' + 16x = 0, kalikan masing-masing ruas dengan 4

x'' + 16x' + 64x = 0, berikut persamaan karakteristik

r² + 16r + 64 = 0

(r + 8)² = 0

r + 8 = 0

r = –8, sehingga solusi umumnya adalah

x = e⁻⁸ᵗ·(c₁ + c₂t) = c₁e⁻⁸ᵗ + c₂te⁻⁸ᵗ, turunkan terhadap t

x' = –8c₁e⁻⁸ᵗ + c₂e⁻⁸ᵗ – 8c₂te⁻⁸ᵗ

Diberikan x(0) = 9 in = ¾ ft dan x'(0) = 0 (dilepaskan dari keadaan diam), masukkan

¾ = c₁ + 0 ⇔ c₁ = ¾

0 = –8c₁e⁻⁸ᵗ + c₂e⁻⁸ᵗ – 8c₂te⁻⁸ᵗ = –8c₁ + c₂, masukkan c₁ = ¾

0 = –6 + c₂ ⇔ c₂ = 6

Jadi, perpindahannya adalah x = e⁻⁸ᵗ·(¾ + 6t); berikut grafiknya

6. Sebuah beban 16-lb dipasang di ujung bawah pegas koil yang digantung dari penyangga tetap. Beban tersebut berhenti dalam posisi kesetimbangannya, sehingga meregangkan pegas 6 inci. Beban tersebut kemudian ditarik ke bawah 3 inci di bawah posisi kesetimbangannya dan dilepaskan pada t = 0. Medium menawarkan hambatan dalam pound secara numerik sama dengan 10x'(t), di mana x'(t) adalah kecepatan sesaat dalam ft/s. Tentukan perpindahan beban sebagai fungsi waktu dan buatlah grafik perpindahan ini.

Diberikan W = 16-lb, asumsikan g = 32 ft/s², diperoleh m = W/g = 16/32 = ½ slug.

Diberikan x = 6 in = ½ ft, dan F = W = 16-lb, menurut hukum Hooke

F = kx ⇔ 16 = ½k ⇔ k = 32 lb/ft.

Diberikan koefisien redaman oleh hambatan medium sebesar a = 10 lb·s/ft

Berdasarkan informasi awal, diperoleh persamaan diferensial

mx'' + ax' + kx = 0

½x'' + 10x' + 32x = 0, kalikan masing-masing ruas dengan 2

x'' + 20x' + 64x = 0, berikut persamaan karakteristik

r² + 20r + 64 = 0

(r + 16)(r + 4) = 0

r = –16 ∨ r = –4, sehingga solusi umumnya adalah

x = c₁e⁻¹⁶ᵗ + c₂e⁻⁴ᵗ, turunkan terhadap t

x' = –16c₁e⁻¹⁶ᵗ – 4c₂e⁻⁴ᵗ

Diberikan x(0) = 3 in = ¼ ft dan x'(0) = 0 (dilepaskan dari keadaan diam), masukkan

c₁ + c₂ = ¼ ...(i)

–16c₁ – 4c₂ = 0 ⇔ 4c₁ + c₂ = 0 ...(ii)

(ii) – (i) → 3c₁ = –¼ ⇔ c₁ = –1/12

4(i) – (ii) → 3c₂ = 1 ⇔ c₂ = ⅓

Jadi, perpindahannya adalah x = –e⁻¹⁶ᵗ/12 + ⅓e⁻⁴ᵗ; berikut grafiknya